5Свойства пределов

5.1Пределы и ограниченность

5.1.1Сходящаяся последовательность ограничена

Теорема 1. Пусть последовательность сходится (то есть имеет предел). Тогда она ограничена.

Доказательство. Обозначим этот предел за . Сформулируем все утверждения в кванторах.

У нас есть. , в кванторах записывается так:

Мы хотим получить. Последовательность ограничена, то есть

Итак, мы хотим из (5.1) прийти к (5.2).

Начнём как обычно с картинки.

Нарисован график последовательности, на вертикальной оси
отмечена точка $A>0$, нарисован $\eps$-коридор вокруг точки $A$,
отмечена прямая $x=N$, правее этой прямой точки
последовательности лежат внутри коридора, левее могут лежать как
внутри, так и вне.
Рис. 5.1: Ограниченность последовательности, имеющей предел.

Хвост последовательности. На картинке видно, что кусок последовательности, начинающийся с номера («хвост»), явно ограниченный: все элементы живут в коридоре вокруг числа и не могут от него далеко уходить. Из рисунка получается, что все эти элементы ограничены по модулю числом (верхняя граница коридора), но это потому, что мы его так нарисовали — если бы было меньше нуля, картинка оказалась симметричной (относительно горизонтальной оси) и ограничение проходило бы по нижней границе коридора. Чтобы не возиться с разбором разных случаев, мы будем пользоваться свойствам модулей. Однако, прежде, чем мы перейдём к аккуратному построению, нужно решить важный вопрос. Дело в том, что у нас сейчас нет никакого . Нам сказано (в (5.1)), что найдётся для любого , то есть мы можем задавать сами. Но как?

На самом деле, здесь можно выбрать любое значение . Например, положим . Пусть — теперь это какое-то зафиксированное число. Тогда для всех ,

Итак, мы имеем оценку для для хвоста последовательности. А хотим, как следует из (5.2), оценку для . Как её получить? Воспользуемся неравенством треугольника!

Величина — это расстояние от до нуля. Это расстояние не больше, чем сумма расстояний от до и от до :

Но мы знаем, что для , . Следовательно, для тех же ,
Итак, для хвоста последовательности мы получили искомую оценку. Однако, это ещё не конец доказательства. Вдруг хвост ограниченный, а «голова» (элементы до включительно) нет?

Начало последовательности. На самом деле, этого не может быть. Дело в том, что элементов от до всего конечное число (их ровно штук). А любое конечное множество обязательно ограниченно, потому что в нём есть максимальный элемент — такой элемент, который не меньше всех остальных. (Аккуратное доказательство этого утверждения — хорошее упражнение. Подсказка: можно сделать индукцию по числу элементов и воспользоваться тем фактом, что среди двух чисел всегда одно не меньше другого.)

Сведём всё воедино. Итак, хвост последовательности можно ограничить числом , а начало — максимальным из модулей чисел , , …, . Положим:

По построению, искомое. Действительно, для всех натуральных , либо , и тогда по определению максимума, либо , и тогда по (5.3).

5.1.2Бесконечные пределы

Итак, мы выяснили, что все сходящиеся последовательности ограничены. Однако, оказывается полезным выделить среди неограниченных последовательностей такие, чьё поведение похоже на поведение последовательностей, которые куда-то стремятся — только не к какому-то числу, а «к бесконечности». Аккуратный смысл этого выражения даётся следующими определениями.

Определение 1. Последовательность стремится к бесконечности, если для всякого числа найдётся такое натуральное , что для всех выполняется неравенство . В кванторах:
Пишут:
или
Нарисован график последовательности, на вертикальной оси
отмечены точки $C$ и $-C$, нарисован $C$-коридор вокруг нуля,
отмечена прямая $x=N$, правее этой прямой точки
последовательности лежат вне коридора, левее могут лежать как
внутри, так и вне.
Рис. 5.2: Последовательность стремится к бесконечности.

Определение 2. Последовательность стремится к плюс бесконечности, если для всякого числа найдётся такое натуральное , что для всех выполняется неравенство . В кванторах:
Пишут:
или

Определение 3. Последовательность стремится к минус бесконечности, если для всякого числа найдётся такое натуральное , что для всех выполняется неравенство . В кванторах:
Пишут:
или

Упражнение 1. Докажите следующие утверждения, используя приведенные выше определения.
  1. Последовательность , , стремится к бесконечности, а также к плюс бесконечности.
  2. Последовательность стремится к бесконечности, но ни к плюс бесконечности, ни к минус бесконечности не стремится.
  3. Последовательность не стремится ни к какой бесконечности, хоть и является неограниченной.

Замечание 1. В некоторых источниках — например, в учебнике Стюарта — используются немного другие обозначения: то, что мы называем просто бесконечностью, без знака, там обозначается через , а то, что мы называем плюс бесконечностью, там обозначается просто как . Мы будем придерживаться более привычными для русскоязычного читателя обозначениями.

Замечание 2. Нужно понимать, что в формуле
знак не является вещественным числом, то есть эту формулу не следует воспринимать как арифметическое равенство. Это условное обозначение для утверждения, точный смысл которого сформулирован в опредении 1 выше. Несмотря на то, что мы пишем, что предел чему-то равен, мы по-прежнему будем считать, что он не существует (поскольку последовательность не удовлетворяет определению предела). Про последовательность мы будем говорить, что она расходится — но расходится не абы как, а «к бесконечности».

5.2Арифметика пределов

Пусть есть две последовательности, и . Над ними можно проводить арифметические операции: складывать, вычитать, умножать, делить. Операции над последовательностями проводятся поэлементно. Например, пусть последовательность является суммой последовательностей и . Можно записать:
что будет означать
Серия утверждений, которые мы докажем в этом разделе, говорит о том, как операция перехода к пределу взаимодействует с арифметическими операциями.

5.2.1Предел суммы

Теорема 2. Пусть даны две последовательности, и и существуют пределы Тогда предел последовательности тоже существует и равен :
Попросту говоря, «предел суммы равен сумме пределов».

Заметим, что и здесь — обязательно обычные вещественные числа, поскольку требуется, чтобы пределы существовали (см. замечание 2).

Доказательство. Перепишем формально, что нам дано, и что требуется доказать.

Нам дано.

Мы хотим доказать.

Утверждения (5.6) и (5.7) можно понимать так: мы можем добиться того, чтобы был близок к , а был близок к , накладывая подходящие условия на . Утверждение (5.8), которое мы хотим доказать, звучит так: мы хотим научиться накладывать такие условия на , чтобы сделать близким к . Выглядит логично: если близко к , а близко к , то логично ожидать, что окажется близко к . Осталось доказать!

Начнём с преобразования левой части неравенства в конце (5.8):

Это тождественное преобразование (раскрыли скобки и перегруппировали слагаемые), но оно позволяет выделить в формуле те разности, которые мы умеем оценивать: и . Вернее, мы умеем оценивать их модули, поэтому нам понадобится одно из свойств модулей: модуль суммы не превосходит суммы модулей:
Теперь заметим, что первое слагаемое мы можем сделать меньшим, чем , а второе — меньшим, чем . Но как выбрать и ? Мы хотим в конечном итоге прийти к неравенству, в правой части которого будет . Значит, можно выбрать и так, чтобы их сумма равнялась . Положим:
Теперь мы можем подставить эти и в утверждения (5.6) и (5.7). Каждое из них выдаст нам в ответ своё (вернее, и ) — номера членов, после которых выполняется соответствующая оценка для и . Мы хотим, чтобы они выполнялись обе. Как обычно, это означает, что из получившихся значений нужно выбрать максимальное.

Итак, мы готовы сформулировать железобетонное доказательство. Для любого положим и . Из (5.6) и (5.7) получим такие и , что для всех

и для всех
Положим теперь:
Тогда для всех , будет выполнятья и , и значит будут выполняться обе оценки (5.10) и (5.11).

Значит, согласно (5.9), для всех таких , будет также выполняться оценка

Таким образом, (5.8) доказано: мы научились по каждому положительному строить такое , что для всех выполнено неравенство .

Ура!

Замечание 3. Это типичный пример доказательства теоремы, в которой нам даны какие-то утверждения о пределах и нужно доказать какие-то другие утверждения про пределы. Важно проследить, как это доказательство устроено, какие числа мы воспринимаем как данные, а какие строим сами.

Утверждение (5.8) мы хотим доказать. В нём сказано, что для всякого должно найтись такое , что (и дальше сказано, что «хорошее», обладает нужным нам свойством). Это означает, что для доказательства этого утверждения нам нужно научиться по каждому научиться строить (как правило, в таких задачах доказать, что существует, проще всего, предъявив явный алгоритм, как его строить) и доказывать, что оно «хорошее».

Далее, утверждение, например, (5.6) нам дано. В нём сказано, что для всякого найдётся такое , что (и дальше сказано, что «хорошее»). Это означает, что мы можем по своему выбору выбирать , и это утверждение в ответ выдаст нам , которое гарантированно удовлетворяет указанному далее свойству. В дальнейшем мы можем использовать это в нашем доказательстве — в данном случае мы его использовали (вместе с , полученным из (5.7)), чтобы построить наше , существование которого нужно было доказать. В доказательстве того, что действительно то, которое нам нужно, мы использовали соответствующие «хорошие» свойства и , гарантированные нам утверждениями (5.6) и (5.7). Чтобы связать всю конструкцию воедино, нам нужно было выбрать и в зависимости от нашего . Мы их выбрали ровно такими, чтобы получившаяся оценка была такой, какая нам нужна.

Всё вместе это выглядит как построение своего рода механизма, который принимает какой-то материал на вход и на выход выдаёт в точности то, что требуется, используя по ходу своей работы промежуточные механизмы, которые нам также даны, см. рис. 5.3 и 5.4.

Схема доказательства теоремы о пределе суммы: построение N по
ε. Сначала ε делится на две половинки, каждая из половинок подаётся
на вход своему «механизму». Механизмы возвращают N_1 и
N_2, из них берётся максимум и так получается N. Первый механизм
гарантирует, что для всех n>N_1 выполняется неравенство
|a_n-A|<ε/2. Второй механизм гарантирует, что для всех n>N_2
выполняется неравенство |b_n-B|<ε/2.
Рис. 5.3: Схема доказательства теоремы о пределе суммы: построение по .
Доказательство того, что построенное $N$ удовлетворяет условию,
повторяет описание, приведенное в тексте.
Рис. 5.4: Схема доказательства теоремы о пределе суммы: доказательство, что построенное удовлетворяет условию в определении предела.
Построением таких механизмов мы будем заниматься на протяжении всего курса.

5.2.2Упрощающая лемма

Давайте посмотрим ещё раз на доказательство теоремы 2. Нам пришлось довольно хитрым образом выбирать и по , чтобы в итоге получилось нужное неравенство. Этот момент выглядит немножко неестественным. Что было бы, если бы мы просто положили и ? Тогда в конечном итоге было бы доказано такое утверждение:
Это утверждение не является определением предела. Тем не менее, понятно, что оно эквивалентно определению предела: выбирать произвольное положительное значение и выбирать произвольное положительное значение — это одно и то же!

Следующая лемма, которой мы будем в дальнейшем пользоваться, формализует это соображение.

Лемма 1. Пусть нашлась такая константа , что для всякого найдётся такое что для всякого выполняется неравенство . Тогда .

Формально: пусть

тогда

Иными словами, если при доказательстве утверждения (5.12) получилось доказать «испорченное» определение предела, где в правой части последнего неравенства вместо стоит или или какое-нибудь — ничего страшного, это всё равно победа. Главное, чтобы константа, стоящая перед , не зависела от .

Доказательство. Во-первых, заметим, что обязательно больше нуля. Действительно, модуль всегда неотрицателен, поэтому неравенство может выполняться лишь при условии, что в правой части стоит положительное число, а , значит .

Перепишем условие (5.12) формально. Оно выглядит так:

Чтобы по найти , возьмём (имеем право так написать, потому что , и значит деление допустимо и не поменяет знак) и положим . Тогда для всех выполняется неравенство:
Что и требовалось получить. Лемма доказана.

Теперь при доказательстве теорем, аналогичных теореме 2, мы не будем подбирать хитрым образом вспомогательные , а вместо этого просто будем считать и дальше воспользуемся только что доказанной леммой. Начнём с теоремы о пределе произведения.

5.2.3Предел произведения

Теорема 3. Пусть даны две последовательности, и и существуют пределы Тогда предел последовательности тоже существует и равен :
Попросту говоря, «предел произведения равен произведению пределов».

Доказательство. Как обычно, запишем, что нам известно, и что нужно доказать.

Нам дано. Равенства (5.13) и (5.14) записываются в виде:

Мы хотим доказать. Равенство (5.17):

Преобразуем левую часть последнего неравенства в (5.17). Для этого воспользуемся картинкой (см. рис. 5.5).

Геометрический смысл произведения — площадь прямоугольника с заданными сторонами. Построим прямоугольник со сторонами и . Давайте для определенности считать, что и (это предположение полезно для иллюстрации, но нас оно не будет ограничивать: простое алгебраическое доказательство нужной нам формулы его не требует). Тогда прямоугольник со сторонами и будет меньше первого прямоугольника и его можно разместить внутри, прижав к левому нижнему углу.

Иллюстрация к формуле про разность двух площадей, см. описание
выше в тексте.
Рис. 5.5: Иллюстрация к формуле (5.18).

Выражение — разность площадей двух прямоугольников, которая выглядит как уголок. Можно разбить этот уголок на два прямоугольника, один со сторонами и , а другой со сторонами и . Имеем:

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, легко проверить, что это алгебраическое тождество. (Как правило переход слева направо в этом тождестве делается с помощью приёма «добавим и вычтем », что выглядит как фокус — нарисовав картинку мы раскрыли секрет этого фокуса.)

Воспользуемся теперь свойствами модулей: модуль суммы не превосходит суммы модулей, модуль произведения равен произведению модулей. Получаем такую оценку:

Заметим, что сомножители и мы умеем делать маленькими благодаря известным нам пределам. А именно, положим и пусть . Тогда для всех :
Разберемся теперь с остальными сомножителями (см. рис. 5.6).

Во-первых, . С ним ничего делать не надо: это просто число, которое не зависит от .

Далее, . С этой штукой не так просто: она от зависит. Однако, мы помним, что последовательность, имеющая предел, ограничена. А последовательность имеет предел по условию. Значит, найдётся такое , что для всех , .

Иллюстрация к оценке, приведенной ниже.
Рис. 5.6: Иллюстрация к формуле (5.20).
Все сомножители неотрицательны, и значит можно оценить каждый из сомножителей, оценить их произведение, а потом оценить сумму. Имеем:
Соединяя (5.18), (5.19) и (5.20) в одну длинную цепочку неравенств, получаем неавенство, верное для всех :
Положим теперь и по лемме 1 искомое утверждение доказано.

5.3Заключение

Мы продолжаем строить теорию пределов и в этой лекции определили новое понятие — бесконечные пределы, причём аж трёх видов (к счастью, очень похожих друг на друга). Мы также доказали ряд важных общих свойств конечных пределов. Во-первых, сходящаяся (к конечному числу) последовательность ограничена. Во-вторых, предел суммы равен сумме пределов, а предел произведения — произведению пределов (но только если все эти пределы существуют, то есть, опять же, конечны). Наконец, мы доказали очень полезную лемму, которой будем пользоваться в дальнейшем. В следующей лекции мы разберемся с пределом частного — с ним будет всё похитрее. Не переключайтесь!