12Бесконечные пределы и асимптоты

Помимо конечных пределов, у последовательностей бывают бесконечные (см. раздел Пределы и ограниченность в главе 5). У функций тоже!

12.1Бесконечные пределы в конечных точках

12.1.1Существование предела и ограниченность

Из лекции 5 мы знаем, что сходящаяся последовательность ограничена. Для функций можно сформулировать аналогичное утверждение.

Теорема 1. Пусть функция имеет предел при . Тогда она ограничена на некоторой проколотой окрестности точки . Иными словами, найдутся такие и , что для всех выполняется неравенство .

Доказательство. По определению предела, для всякого найдётся такое , что для всех из проколотой -окрестности выполняется неравенство .

Положим (то есть возьмём ). Тогда для всех из проколотой -окрестности точки выполняется неравенство . По неравенству треугольника,

Положим . Тогда — искомая окрестность точки . Теорема доказана.

Доказательство очень похоже на доказательство аналогичной теоремы для последовательностей, и даже проще: в случае с последовательностями нужно было отдельно рассматривать начальный отрезок. За это мы платим тем фактом, что утверждение об ограниченности распространяется не на всю область определения функции, а лишь на некоторую проколотую окрестность точки .

Пример 1. Рассмотрим функцию . Она имеет предел при , однако не является ограниченной на всей области определения.

12.1.2Бесконечные пределы

В том случае, когда функция не является ограниченной ни в какой проколотой окрестности точки , она не может иметь предела в этой точке. Однако, опять аналогично ситуациям с последовательностями, мы можем определить, что означает, что функция стремится к бесконечности в точке .

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки . Говорят, что её предел в этой точке равен бесконечности, если для всякого найдётся такая , что для всех из проколотой -окрестности точки выполняется неравенство: . Формально:
Записывают:

Замечание 1. И снова: если предел функции равен бесконечности, это означает, что предел «не существует» (в смысле обычного определения предела). Тот факт, что функция стремится к бесконечности, означает, что она не имеет предела в точке, но при этом не имеет его специфическим образом.

Пример 2. Функция стремится к бесконечности при . Дейстительно, возьмём любоое . Если , условие выполнено автоматически. Если , положим . Тогда если , то .
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

def f(x):
    return 1 / x
C = 1.7
x = np.linspace(-2.7, 2.7, 211)
plt.figure(figsize=(4, 4))
plt.plot(x, np.full_like(x, C), '--', color='C1', linewidth=1)
plt.plot(x, np.full_like(x, -C), '--', color='C1', linewidth=1)

plt.plot(np.full_like(x, 1/C), x, '--', color='C2', linewidth=1)
plt.plot(np.full_like(x, -1/C), x, '--', color='C2', linewidth=1)
plt.annotate("$C$", (0.05, C + 0.05))
plt.annotate("$-C$", (0.05, -C + 0.05))
plt.annotate(r"$\delta$", (1/C + 0.05, 0 + 0.05))
plt.annotate(r"$-\delta$", (-1/C + 0.05, 0 + 0.05))
plt.plot([-1/C, 1/C], [0, 0], '-', linewidth=3, color='C2',
         alpha=0.7, solid_capstyle='butt')
plt.plot([0, 0], [C, 2.7], '-', linewidth=3, color='C1',
    solid_capstyle='butt')
plt.plot([0], [0], 'o', color='C2', markerfacecolor='white',
          markeredgewidth=2)
plt.plot([0, 0], [-C, -2.7], '-', linewidth=3, color='C1',
    solid_capstyle='butt')
plt.plot(x, f(x), label='$y=1/x$')

plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-2.7, xmax=2.7, ymin=-2.7, ymax=2.7, 
               xlabel="x", ylabel="y", axlabelshift=1.3) 
# plt.xticks([1/C, -1/C], [r"$\delta$", r"$-\delta$"])
plt.xticks([])
plt.yticks([])

Пример 3. Функция
не является ограниченной ни в какой проколотой окрестности точки (поскольку сколь угодно близко к нулю существуют рациональные числа), но при этом не стремится к бесконечности при (поскольку сколь угодно близко к нулю существуют иррациональные числа, в которых функция принимает значение 0).

Опять же, аналогично последовательностям, помимо просто бесконечности, бывает плюс бесконечность и минус бесконечность:

Определение 2. Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки . Говорят, что её предел в этой точке равен плюс бесконечности (минус бесконечности), если для всякого найдётся такая , что для всех из проколотой -окрестности точки выполняется неравенство: (соответственно, ). Формально:

Пример 4. Неверно, что при : когда приближается к нулю слева (то есть становится очень маленьким по модулю, но отрицательным), становится большим по модулю, но тоже отрицательным. В то же время, при : знаменатель всегда положительный при , и когда он маленький по модулю, дробь становится очень большой.

Наконец, можно рассматривать односторонние бесконечные пределы.

Упражнение 1. Придумайте определения для утверждений , , , самостоятельно, объединяя определение 2 и определения 7 и 8 из лекции 10.

Упражнение 2. Снова рассмотрим функцию . Докажите, что
и

Определение 3. Заметим, что если функция стремится к какой-нибудь из бесконечностей (неважно, плюс, минус или просто бесконечности) когда стремится к с какой-нибудь стороны, график приближается к вертикальной прямой когда приближается к (слева или справа). В этом случае прямая называется вертикальной асимптотой функции (или её графика).

Пример 5. Рассмотрим функцию
Знаменатель обнуляется в двух точках: и . При приближении к точке знаменатель стремится к нулю, а числитель к . Значит, дробь стремится к бесконечности (без знака, т.к. знаменатель может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, с какой стороны приближаемся). У функции есть вертикальная асимптота . В точке обнуляется и числитель, и знаменатель. Чтобы найти предел в этой точке, сократим дробь на . Получится выражение . Оно имеет предел, равный при . Значит, вертикальной асимптоты у функции нет.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

def f(x):
    return (x - 1) / (x ** 2 - 1)
x = np.linspace(-4, 4, 161)
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, f(x), label=r'$y=\frac{x-1}{x^2-1}$')
plt.plot([1], [0.5], 'o', 
          color='C0', markerfacecolor='white',
          markeredgewidth=1.5)
plt.plot([-1, -1], [-4, 4], linewidth=1, color='C2')
plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-3.7, xmax=3.7, ymin=-3.7, ymax=3.7, 
               xlabel="x", ylabel="y") 
Рис. 12.2: У функции есть единственная вертикальная асимптота: .

12.2Пределы на бесконечности

Другой тип пределов функций, связанный с бесконечностями — это предел при стремящемся к бесконечности.

12.2.1Конечные пределы на бесконечности и горизонтальные асимптоты

Определение 4. Пусть функция определена для всех достаточно больших по модулю значений , то есть найдётся такое , что определена для всех , для которых . Говорят, что предел функции при стремящемся к бесконечности равен , если для всякого найдётся такое , что для всех , если , то .

Определение 5. Пусть функция определена для всех достаточно больших значений , то есть найдётся такое , что определена для всех . Говорят, что предел функции при стремящемся к плюс бесконечности равен , если для всякого найдётся такое , что для всех верно неравенство .

Определение 6. Пусть функция определена для всех достаточно больших по модулю отрицательных значений , то есть найдётся такое , что определена для всех . Говорят, что предел функции при стремящемся к минус бесконечности равен , если для всякого найдётся такое , что для всех верно неравенство .

Обозначения:

Упражнение 3. Докажите, что если , то и . Верно и обратное: если и , то . Докажите и это.

Пример 6. Функция стремится к нулю при . (Докажите!)

Пример 7. Функция стремится к нулю при , а предел при не существует.

Определение 7. Если функция стремится к какому-то числу при или , её график приближается к горизонтальной прямой . Такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Замечание 2. Иногда при формулировании определение асимптоты хочется сказать, что это прямая, к которой график приближается, но никогда её не достигает. Для вертикальной асимптоты это верно, а для горизонтальной нет. Например, у функции есть горизонтальная асимптота — в этом случае график совпадает со своей горизонтальной асимптотой. Менее тривиальный пример: рассмотрим функцию . Её предел при равен нулю и у неё есть горизонтальная асимптота , с которой график пересекается бесконечно много раз.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

def f(x):
    return np.sin(x) / x
x = np.linspace(-40, 40, 411)
plt.figure(figsize=(6, 3))
plt.plot(x, f(x), label=r'$y=\frac{\sin x}{x}$')
plt.plot([0], [1], 'o', color='C0', markersize=4, markerfacecolor='white',
          markeredgewidth=1.5)

plt.plot([-40, 40], [0, 0], '-', linewidth=2, color='C2')
plt.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-40, xmax=40, ymin=-0.5, ymax=1.2, 
               xlabel="x", ylabel="y", axlabelshift=1.2) 
plt.xticks([])
plt.yticks([])
Рис. 12.3: Прямая является горизонтальной асимптотой функции .

Замечание 3. У функции может быть не более двух горизонтальных асимптот: одна соответствует пределу при , а другая при .

Вопрос 1. Сколько вертикальных асимптот может быть у функции?
  Сколько угодно, даже бесконечное число.

Верный ответ. Это правда. Например, у тангенса их бесконечно много.

  Тоже не больше двух.

Неверный ответ. У функции их три!

  Сколько угодно, но конечное число.

Неверный ответ. Что насчёт тангенса?

Замечание 4. Предел функции при очень похож на предел последовательности при . Однако, это не одно и то же: когда обсуждается предел последовательности, принимает только натуральные значения, а в случае предела функции может принимать любые вещественные значения.

Вопрос 2. Рассмотрим два предела: предел функции и предел последовательности . Что вы можете про них сказать?
  Они оба существуют, но не равны.

Неверный ответ. Этого не может быть из определения предела по Гейне.

  Они оба существуют и равны.

Неверный ответ. Это вряд ли. Функция может принимать значения или для сколь угодно больших .

  Они оба не существуют.

Неверный ответ. А что вы можете сказать про последовательность ? Найдите несколько её членов.

  Предел функции существует, а предел последовательности нет.

Неверный ответ. Этого не может быть из определения предела по Гейне.

  Предел последовательности существует, а предел функции нет.

Верный ответ. И правда! Последовательность на самом деле состоит из нулей и её предел равен нулю. А функция может принимать значения или для сколь угодно больших , и значит не имеет предела.

12.2.2Бесконечные пределы на бесконечности

Мы рассмотрели бесконечные пределы в конечных точках и конечные пределы на бесконечности. Можно скрестить ужа с ежом и получить бесконечные пределы при стремящемся к бесконечности.

Определение 8. Пусть функция определена для всех достаточно больших значений , то есть найдётся такое , что определена для всех . Говорят, что предел функции при стремящемся к плюс бесконечности равен плюс бесконечности, если для всякого найдётся такое , что для всех верно неравенство . Записывают:

Упражнение 4. Придумайте определения для остальных комбинаций бесконечностей.

Пример 8. Функция стремится к плюс бесконечности при , а функция стремится просто к бесконечности при .

Пример 9. Рассмотрим функцию
При функция стремится к нулю (она равна , и раз становится очень-очень большим, становится очень близким к нулю). По арифметике пределов,
При функция стремится к плюс бесконечности. В этом случае знаменатель дроби также стремится к плюс бесконечности. Поскольку числитель равен 1, значение дроби стремится к нулю (см. утверждение 2 из лекции 7, где шла речь про «арифметику бесконечностей»). Значит
У нашей функции две горизонтальные асимптоты: и . (И вообще это важная функция — так называемая «сигмоида», встречается в эконометрике и нейросетях.)
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

def f(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))
x = np.linspace(-4, 4, 411)
plt.figure(figsize=(5, 2))
plt.plot(x, f(x), label=r'$y=\frac{1}{1+e^{-x}}$')

plt.plot([-4, 4], [0, 0], '-', linewidth=2, color='C2')
plt.plot([-4, 4], [1, 1], '-', linewidth=2, color='C2')
plt.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-4, xmax=4, ymin=-0.1, ymax=1.2, 
               xlabel="x", ylabel="y", axlabelshift=1.2) 
plt.xticks([])
plt.yticks([1], ['$1$'], va="bottom")
Рис. 12.4: У функции две горизонтальные асимптоты: и .

Замечание 5. В этой лекции восемь разных определений — и это ещё несколько я попросил вас придумать самостоятельно! Глаза разбегаются. При этом можно заметить, что все определения очень похожи друг на друга. Нет ли возможности как-то их объединить в одно супер-определение? Оказывается, есть — можно ввести общее понятие предела по базе, для которого все наши пределы (предел последовательности и всевозможные пределы функций) будут частными случаями. Затем можно в общем случае доказать все утверждения, которые нам нужны (единственность предела, арифметику и т.д.) Этот подход позволяет сэкономить время, но грешит слишком большой абстрактностью — для первого знакомства с матанализом он не подходит.

Замечание 6. А что с пределами по Гейне? Их сформулировать как раз очень просто. Например, утверждение с точки зрения определения по Гейне означает, что для любой последовательности , стремящейся к плюс бесконечности, последовательность стремится к минус бесконечности. Аналогично определяются и все остальные понятия, которые мы тут обсуждали. Доказать эквивалентность таких определений по Гейне и тех, которые сформулированы здесь — хорошее упражнение.

12.2.3Наклонные асимптоты

Пусть . Тогда функция не может иметь горизонтальных асимптот. Однако её график по-прежнему может приближаться к какой-нибудь прямой — только не горизонтальной.

Пример 10. Рассмотрим функцию
Её предел при равен бесконечности, и когда стремится к бесконечности, график функции неограниченно приближается к прямой .
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

def f(x):
    return x + 1 / x
x = np.linspace(-4, 4, 411)
plt.figure(figsize=(4, 4))
plt.plot(x, f(x), label=r'$y=x+\frac{1}{x}$')

plt.plot([-4, 4], [-4, 4], '-', linewidth=1, color='C2')
plt.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-4, xmax=4, ymin=-4, ymax=4, 
               xlabel="x", ylabel="y", axlabelshift=1.2) 
plt.xticks([])
plt.yticks([], [])
Рис. 12.5: У функции есть наклонная асимптота .
Действительно, давайте возьмём большое значение и посчитаем «расстояние по вертикали» между графиком функции и прямой для этого значения . (Иными словами, мы проведём вертикальную прямую и посмотрим на расстояние между точками пересечения этой прямой и графиков и .) Это расстояние вычисляется как . Оно стремится к нулю при .

Определение 9. Прямая называется наклонной асимптотой функции (или её графика), если хотя бы один из пределов
или
равен нулю.

Замечание 7. Как видно из определения, горизонтальная асимптота — это частный случай наклонной (). Всего может быть не более двух наклонных асимптот (одна соответствует , а другая ), включая горизонтальные.

Как искать наклонные асимптоты? На эту тему есть рецепт.

Утверждение 1. Наклонная асимптота при у функции существует тогда и только тогда, когда существуют пределы При этом они обязаны равняться указанным значениям ( и ).

Доказательство. Докажем в одну сторону. Пусть является наклонной асимптотой функции при . Тогда
Предел первого слагаемого равен нулю, поскольку числитель стремится к нулю (по предположению), а знаменатель к бесконечности.

Со вторым пределом ещё проще:

В обратную сторону. Пусть существует предел (12.2) и он равен . Тогда
Утверждение доказано.

Конечно, можно сформулировать и доказать аналогичное утверждение для .

Таким образом, чтобы найти наклонные асимптоты, нужно сперва найти предел (12.1). Если он не существует, наклонной асимптоты (для этой бесконечности) точно нет. Если существует, нужно найти предел (12.2). Если этот предел существует, прямая является наклонной асимптотой.

Пример 11. Может так случиться, что предел (12.1) существует, а предел (12.2) нет. Например, это верно для функции .

12.3Заключение

Главная цель математического анализа — научиться «заглядывать в бесконечность». В этой лекции мы серьезно продвинулись в этом навыке.