28Ряды

Ряды — это просто бесконечные суммы. Мы с ними уже несколько раз сталкивались — например, когда обсуждали, что некоторые функции оказываются равны своим рядам Тейлора (см. замечание 2 из лекции 22). Пришло время поговорить про ряды подробнее.

28.1Сходящиеся и расходящие ряды

28.1.1Определения и примеры

Пусть есть какая-то последовательность

{a_{k}}

Определение 1. Бесконечным рядом (или просто рядом) называется такая бесконечная сумма:

\infty \sum k = 1 a_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots .

Если вместо бесконечности взять первые

n

слагаемых, получится частичная сумма ряда:

S_{n} := n \sum k = 1 a_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} .

По определению, суммой ряда называется предел частичных сумм:

\infty \sum k = 1 a_{k} := lim n \to \infty S_{n} = lim n \to \infty n \sum k = 1 a_{k} .

Конечно, этот предел может существовать, а может не существовать. В первом случае ряд называется сходящимся, во втором — расходящимся.

Пример 1. Ряд

\infty \sum k = 1 \frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots

сходится. Это геометрическая прогрессия со знаменателем, по модулю меньшим 1, но сходимость здесь можно увидеть и непосредственно. Если у вас была одна шоколадка, вы съели от неё половину, потом половину от оставшейся половины (то есть четверть), потом половины от того, что осталось (то есть одну возьмую) и т.д. — в пределе ничего не останется, но и больше, чем целую шоколадку, вы не съедите. Значит, сумма съеденных кусочков стремится к единице.

Рис. 28.1: Сумма бесконечной геометрической прогрессии «на шоколадках»

Пример 2. Ряд

\infty \sum k = 1 k^{2} = 1 + 4 + 9 + 16 + \dots

расходится: поскольку все слагаемые больше или равны 1, частичные суммы неограничены:

S_{n} \geq n

, и значит расходятся. Можно сказать, что сумма равна плюс бесконечности:

\infty \sum k = 1 k^{2} = + \infty .

28.1.2Геометрическая прогрессия

Важным примером рядов являются суммы геометрических прогрессий, то есть последовательностей вида

{b_{0} q^{k}}

, где

q

называется знаменателем прогрессии.

Поскольку я никогда не могу запомнить формулу для суммы членов геометрической прогрессии и каждый раз вывожу её заново, приведу этот вывод и здесь.

Утверждение 1. Для всяких

b_{0} \in R

q \neq 1

n \in N

справедливо утверждение

n \sum k = 1 b_{0} q^{k} = b_{0} q \frac{1 - q^{n}}{1 - q} .

Доказательство. Вынесем

b_{0} q

за знак суммирования, а потом сделаем замену индекса суммирования

m = k - 1

n \sum k = 1 b_{0} q^{k} = b_{0} q n \sum k = 1 q^{k - 1} = b_{0} q n - 1 \sum m = 0 q^{m} .

Остаётся найти, чему равна сумма

\sum_{m = 0}^{n - 1} q^{m}

. Обозначим её через

S

. Тогда

\begin{matrix} S & = & 1 + & q + q^{2} + \dots + & q^{n - 1} q S & = & q + q^{2} + \dots + & q^{n - 1} + & q^{n} \end{matrix}

Вычитая из первого равенства второе, получаем:

S - q S = 1 - q^{n},

откуда

S = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} .

∎

Следствие 1. При

| q | < 1

\infty \sum k = 1 b_{0} q^{k} = \frac{b_{0} q}{1 - q}

поскольку в этом случае

q^{n}

стремится к нулю при

n

стремящемся к бесконечности. При

| q | > 1

при

b_{0} \neq 0

ряд расходится, поскольку

q^{n}

стремится к бесконечности. При

q = 1

последовательность является постоянной и ряд расходится при

b_{0} \neq 0

В примере 1, $b_{0} = 1$ и $q = 1 / 2$ , значит сумма равна

\infty \sum k = 1 \frac{1}{2^{k}} = \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1,

как и ожидалось.

28.1.3«Телескопические суммы»

Вообще есть мало сколь-нибудь универсальных способов нахождения бесконечных сумм в явном виде. Но чтобы вам не казалось, что нет никаких поддающихся анализу рядов, кроме геометрической прогрессии, обсудим ещё один тип.

Пример 3. Найдём сумму ряда

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 \frac{1}{k (k + 1)} . \\ (28.1) \end{matrix}

Для этого заметим, что

\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} .

Дальше хочется сделать такую штуку:

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 \frac{1}{k (k + 1)} = \infty \sum k = 1 (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots = = \frac{1}{1} + (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (- \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + \dots = \frac{1}{1} + 0 + 0 + \dots = 1. \end{matrix}

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 \frac{1}{k (k + 1)} = \infty \sum k = 1 (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots = = \frac{1}{1} + (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + + (- \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + \dots = = \frac{1}{1} + 0 + 0 + \dots = 1. \end{matrix}

Это преобразование выглядит реалистично — в самом деле, нас учили, что при суммировании неважно, как расставлять скобки — однако таит в себе опасность. Рассмотрим, например, такой ряд:

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 (- 1)^{k} = - 1 + 1 - 1 + \dots \\ (28.2) \end{matrix}

Его частичными суммами

S_{n}

будут числа

- 1

(при нечётных

n

) и

0

— при чётных. Мы знаем, что предела у такой последовательности нет. Однако, казалось бы, можно записать:

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 (- 1)^{k} = - 1 + 1 - 1 + 1 - \dots = (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \dots = 0 + 0 + \dots = 0. \end{matrix}

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 (- 1)^{k} & = - 1 + 1 - 1 + 1 - \dots = = (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \dots = = 0 + 0 + \dots = 0. \end{matrix}

Впрочем, с тем же успехом мы могли бы получить и

- 1

, если бы сгруппировали слагаемые иначе (первое оставили отдельно, а второе сгруппировали с третьим, четвертой с пятым и т.д.)

Пример с рядом $\sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k}$ показывает, что бесконечные суммы могут быть коварными — привычные нам операции типа группировки слагаемых могут менять результат. Как же всё-таки найти сумму ряда (28.1)?

Если мы не уверены, что некоторое преобразование сработает с бесконечным рядом, мы можем вернуться в ту область, где всё просто и понятно — в область конечных сумм. Давайте рассмотрим частичные суммы этого ряда:

\begin{matrix} n \sum k = 1 \frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} . \end{matrix}

\begin{matrix} n \sum k = 1 \frac{1}{k (k + 1)} & = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} . \end{matrix}

Тут уже скобки не важны, потому что группировка слагаемых в конечных суммах не меняет их значения. Мы видим, что слагаемые

(- 1 / 2)

1 / 2

сокращаются, и дальше сократятся все пары слагаемых, заканчивая

(- 1 / n)

1 / n

. Останется только первое и последнее слагаемое. (Если вы чувствуете малейшие сомнения в этом месте, подставьте какое-нибудь небольшое конкретное

n

— например,

n = 3

, и проследите, как это работает.) Итак:

n \sum k = 1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{n + 1}

и значит предел частичных сумм равен

1

. То есть наше вычисление дало правильный результат, и теперь мы это аккуратно обосновали. (Проверьте, что будет, если попытаться применить то же самое рассуждение к ряду (28.2).)

Суммы такого вида, у которых слагаемые последовательно сокращаются, иногда называют «телескопическими» — в процессе сокращения сумма как бы складывается, как складная подзорная труба или телескоп.

28.1.4Простейшие свойства

Как показвает пример с рядом (28.2), не все привычные нам операции с конечными суммами можно применять к рядам. Однако, некоторые всё-таки можно.

Утверждение 2. Пусть ряды

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}

сходятся и

c \in R

— какая-то константа. Тогда

$\infty \sum k = 1 (a_{k} + b_{k}) = \infty \sum k = 1 a_{k} + \infty \sum k = 1 b_{k}$ .
$\infty \sum k = 1 (c a_{k}) = c \infty \sum k = 1 a_{k}$ .

Доказательство. Это прямое следствие из аналогичных свойств пределов. Докажем, например, первое свойство. Рассмотрим

n

-ю частичную сумму:

\begin{matrix} n \sum k = 1 (a_{k} + b_{k}) = (a_{1} + b_{1}) + (a_{2} + b_{2}) + \dots + (a_{n} + b_{n}) = \dots \end{matrix}

\begin{matrix} n \sum k = 1 (a_{k} + b_{k}) & = (a_{1} + b_{1}) + (a_{2} + b_{2}) + \dots + + (a_{n} + b_{n}) = \dots \end{matrix}

Это конечная сумма, в ней можно раскрывать скобки и переставлять слагаемые, как нас учат в школе. Поэтому можно продолжить равенство:

\begin{matrix} \dots = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) + (b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}) = n \sum k = 1 a_{k} + n \sum k = 1 b_{k} . \end{matrix}

\begin{matrix} \dots & = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) + + (b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}) = = n \sum k = 1 a_{k} + n \sum k = 1 b_{k} . \end{matrix}

Значит

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 (a_{k} + b_{k}) & = lim n \to \infty n \sum k = 1 (a_{k} + b_{k}) = lim n \to \infty (n \sum k = 1 a_{k} + n \sum k = 1 a_{k}) = = lim n \to \infty n \sum k = 1 a_{k} + lim n \to \infty n \sum k = 1 b_{k} = \infty \sum k = 1 a_{k} + \infty \sum k = 1 b_{k} . \end{matrix}

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 (a_{k} + b_{k}) & = lim n \to \infty n \sum k = 1 (a_{k} + b_{k}) = = lim n \to \infty (n \sum k = 1 a_{k} + n \sum k = 1 a_{k}) = = lim n \to \infty n \sum k = 1 a_{k} + lim n \to \infty n \sum k = 1 b_{k} = = \infty \sum k = 1 a_{k} + \infty \sum k = 1 b_{k} . \end{matrix}

В третьем равенства мы использовали теорему о пределе суммы.

Второе свойство доказывается аналогично, запишите доказательство самостоятельно.∎

28.2Признаки сходимости и расходимости

28.2.1Необходимое условие сходимости: члены стремятся к нулю

Утверждение 3. Если ряд

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

сходится, то

lim n \to \infty a_{n} = 0.

Доказательство. Обозначим через

S_{n}

частичную сумму нашего ряда:

S_{n} := n \sum k = 1 a_{k} .

Тогда для всех

n > 1

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} .

Рассмотрим предел последовательности

{a_{n}}

lim n \to \infty a_{n} = lim n \to \infty (S_{n} - S_{n - 1}) = lim n \to \infty S_{n} - lim n \to \infty S_{n - 1},

но пределы

S_{n}

S_{n - 1}

— это фактически один и тот же предел (во втором случае последовательность просто сдвинута на один элемент вправо, но предел от этого не изменился). И оба предела существуют, потому что по определению, предел частичных сумм — это сумма ряда, а ряд сходится. Обозначим сумму ряда за

S

. Тогда

lim n \to \infty a_{n} = S - S = 0.

∎

Замечание 1. Теперь мы могли бы мгновенно сказать, что ряд (28.2) расходится: его члены не стремятся к нулю.

28.2.2Гармонический ряд

Условие

a_{n} \to 0

является необходимым для сходимости ряда, но является ли оно достаточным? Оказывается, нет. Приведём в качестве примере известный гармонический ряд.

Утверждение 4. Ряд

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots \\ (28.3) \end{matrix}

расходится.

Доказательство. Заметим, что

\begin{matrix} \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \geq 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \geq 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} \geq 8 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \geq 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \geq 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} \geq 8 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{2} \end{matrix}

Каждая из сумм в левой части не меньше, чем своё последнее слагаемое (самое маленькое) умножить на число слагаемых. Понятно, что так можно продолжать и дальше. Для произвольного натурального

m

возьмём слагаемые с номерами от

2^{m} + 1

до

2^{m + 1}

. Их количество равно разности между этими двумя числами, плюс один. (Потому что и первое и последнее число включатся в подсчёт: например, если бы эти числа совпадали, разность равнялась нулю, но при этом одно слагаемое мы бы взяли.) Значит, общее число слагаемых равно

\begin{matrix} 2^{m + 1} - (2^{m} + 1) + 1 = 2^{m + 1} - 2^{m} = 2^{m} (2^{1} - 1) = 2^{m} \end{matrix}

\begin{matrix} 2^{m + 1} - (2^{m} + 1) + 1 = 2^{m + 1} - 2^{m} = = 2^{m} (2^{1} - 1) = 2^{m} \end{matrix}

и каждое слагаемое не меньше последнего, то есть

1 / 2^{m + 1}

. Итак:

\begin{matrix} 2^{m + 1} \sum k = 2^{m} + 1 \frac{1}{k} \geq 2^{m} \frac{1}{2^{m + 1}} = \frac{1}{2} . \\ (28.4) \end{matrix}

Возьмём первые

2^{N}

слагаемых ряда (28.3). В них есть первое слагаемое, равное

1 / 1

, и ещё

N

«блоков» вида (28.4), каждый из которых не меньше

1 / 2

. Значит, их сумма не меньше, чем

N \frac{1}{2} + 1

и стремится к бесконечности. Значит, ряд расходится.∎

Замечание 2. Суммирование гармонического ряда похоже на интегрирование функции

\frac{1}{x}

. И это не фигура речи. Мы знаем, что

\int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x = ln t

и можно доказать, что существует такая константа

γ

(постоянная Эйлера — Маскерони), что

lim n \to \infty n \sum k = 1 (\frac{1}{k}) - ln n = γ,

то есть у частичных сумм гармонического ряда есть «логарифмическая асимптота» (асимптота вида

y = ln n + γ

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

def harmonic(n):
    # reverse order for better precision
    return sum(1 / k for k in range(n, 0, -1))
gamma = 0.57721566490153286060
# From Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Mascheroni_constant

N = range(1, 10)
plt.plot(N, [harmonic(n) for n in N], 'o', 
         label=r'частичные суммы гармонического ряда')

x = np.linspace(0.1, max(N) + 1, 301)
plt.plot(x, np.log(x) + gamma, label=r'$y=\ln x + \gamma$')
plt.yticks([1, 2, 3])
plt.xticks(N)
plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.5, xmax=max(N) + 1, ymin=-0.2, ymax=4.2, 
               xlabel="x", ylabel="y")

Рис. 28.2: Логарифмическая асимптота для частичных сумм гармонического ряда

28.2.3Признак сравнения

Ну хорошо, у нас есть необходимое условие сходимости — может быть, есть и какие-то достаточные? Да, есть.

Теорема 1. Рассмотрим два ряда:

\infty \sum k = 1 a_{k}, \infty \sum k = 1 b_{k} .

Если известно, что для всех натуральных

k

верны неравенства

\begin{matrix} 0 \leq a_{k} \leq b_{k} \\ (28.5) \end{matrix}

и ряд

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 b_{k} \\ (28.6) \end{matrix}

сходится, то ряд

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 a_{k} \\ (28.7) \end{matrix}

тоже сходится.

Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательству похожей теоремы для несобственных интегралов. Попробуйте написать его самостоятельно.

Узнать ответ

Верный ответ. Обозначим сумму ряда (28.6) через $B$ , частичные суммы ряда (28.6) через $B_{n}$ , а частичные суммы ряда (28.7) через $A_{n}$ . Поскольку все слагаемые неотрицательны, обе последовательности ${A_{n}}$ и ${B_{n}}$ неубывают. Также в силу (28.5), для всех $n$ , $A_{n} \leq B_{n}$ . С другой стороны, в силу неубывания, все элементы $B_{n}$ не превосходят предела $B$ (если бы какой-то элемент перескочил через предел, все следующие элементы были бы отделены от предела и не могли бы к нему стремиться). Значит, для всех $n$ , $A_{n} \leq B_{n} \leq B$ и значит последовательность ${A_{n}}$ является неубывающей и ограниченной. Значит, по теоремe Вейерштрасса, у неё есть предел.

∎

Пример 4. Докажем, что ряд

\infty \sum k = 1 \frac{1}{k^{k}}

сходится. Действительно, для всех

k \geq 2

k^{k} \geq 2^{k}

и следовательно

1 / k^{k} \leq 1 / 2^{k}

. Никакое конечное число начальных членов на сходимость ряда не влияет и значит в признаке сравнения достаточно выполнения неравенства для всех

k

, начиная с некоторого. А ряд

\infty \sum k = 1 \frac{1}{2^{k}}

сходится. Значит, и наш ряд сходится.

Пример 5. Докажем, что ряд

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 \frac{ln k}{k} \\ (28.8) \end{matrix}

расходится. Действительно, для всех

k \geq 3

ln k \geq 1

и следовательно

\frac{1}{k} \leq \frac{ln k}{k} .

Но если бы ряд (28.8) сходился, тогда и ограниченный им ряд

\sum_{k = 1}^{\infty} 1 / k

тоже сходился бы. Но мы знаем, что последнее неверно. Значит, наш ряд расходится.

28.2.4Интегральный признак сходимости

Как мы уже отмечали, между несобственными интегралами и рядами много общего. При этом анализировать интегралы часто проще, чем ряды — есть разнообразные способы преобразования интегралов, которые к рядам применяются плохо. К счастью, есть теорема, которая позволяет переносить результаты о сходимости интегралов на ряды и наоборот.

Теорема 2. Пусть функция

f : [1, + \infty) \to R

невозрастает, неотрицательна и интегрируема на любом отрезке

[a, t]

t > a

. В этих условиях ряд

\begin{matrix} n \sum k = 1 f (k) \\ (28.9) \end{matrix}

сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

\begin{matrix} \int_{1}^{\infty} f (x) d x . \\ (28.10) \end{matrix}

Доказательство.

Если интеграл сходится, то и ряд тоже сходится. Построим график функции $y = f (x)$ . Мы хотим представить сумму ряда (28.9) в виде некоторой площади, чтобы сравнить её с площадью, которая соответствует интегралу (28.10). Для этого над каждым отрезком $[k - 1, k]$ построим прямоугольник высотой $f (k)$ , $k = 1, 2, \dots$ .

Математический анализ Записки лекций