29Комплексные числа
Мы начинали курс с обсуждения чисел, ими же и закончим. Всё началось с натуральных чисел. Натуральные числа можно складывать, умножать и возводить в степени, но не всегда можно вычитать. Попробуйте-ка вычесть пять из трёх — если вам известны только натуральные числа, не получится. Приходится изобретать отрицательные. С отрицательными числами вычитание работает без проблем, но с делением есть трудности — четыре на два поделятся, а на три — нет. Рациональные числа лишены этой проблемы: делить можно что угодно на что угодно, кроме нуля (с нулём так всегда будет, тут уж ничего не поделать). Однако, корни извлекать не всегда получается — например, корень из двух не является рациональным числом. Чтобы эту проблему решить, придумали вещественные числа. Теперь корни извлекаются — но только из неотрицательных чисел. А что делать, если очень хочется извлечь корень из отрицательного числа? Как обычно — придумывать новые числа!29.1Построение комплексных чисел
29.1.1Мнимая единица
Когда мы не смогли поделить четыре на три, мы сказали — ну и ладно, давайте просто объявим, что — это новое число — не натуральное и не целое, но рациональное. Потом мы придумали две вещи: во-первых, как вложить множество целых чисел в множество рациональных — мы знаем, что целое число — это то же самое, что рациональное число . Во-вторых, как рациональные числа складывать и умножать.С корнями из отрицательных чисел можно поступить аналогично. Допустим, очень хочется вычислить квадратный корень из минус единицы. Давайте считать, что мы его вычислили, и обозначим результат через . Эта штука называется мнимой единицей. Мы бы хотели извлекать квадратный корень не только из минус единицы, но и из других отрицательных чисел. Однако, как мы скоро увидим, ничего специального для этого делать не придётся.
Конечно, не является вещественным числом, поскольку мы хорошо знаем, что квадрат любого вещественного числа неотрицателен (ну вот просто так мы определили операции — минус на минус даёт плюс, поэтому отрицательного ничего не получится). Тем не менее, давайте считать, что это всё-таки число — какого-то нового, невиданного доселе типа — и что его можно включать в арифметические операции.
Самое главное (и, по большому счёту, единственное), что мы знаем про и арифметические операции — что если его умножить на себя, то получится минус единица:
Итак, по определению, множество комплексных чисел — это множество
29.1.2Арифметические операции с комплексными числами
В дальнейшем мы будем предполагать, что привычные для нас правила работы с числами — например, «от перестановки слагаемых сумма не меняется» и т.д. сохраняются и в случае комплексных чисел — по крайней мере, до тех пор, пока это возможно.
Сложение. Пусть и — два комплексных числа. Их сумма определяется так:
Умножение. Тут будет посложнее.
29.1.3Комплексная плоскость
Всякие комплексное число задаётся парой вещественных чисел — действительной и мнимой частью. С другой стороны, мы знаем, что парами вещественных чисел задаются точки на плоскости. Каждой точке можно также сопоставить радиус-вектор — стрелочку, которая начинается в нуле, а заканчивается в этой точке. (Эту стрелочку также можно переносить по всей плоскости, сохраняя направление и длину — иногда бывает полезно откладывать вектор не от нуля, а от другой точки.) Мы будем думать про комплексные числа как про такие векторы. Точка и её радиус-вектор соответствуют вещественному числу , а точка — числу .Вероятно, вы помните, что векторы на плоскости складываются по правилу параллелограмма или правилу треугольника (что в сущности одно и то же). В координатах, сложение векторов происходит покомпонентно — первая компонента первого вектора складывается с первой компонентой второго, втарая — со второй. Точно так же складываются комплексные числа. Поэтому сложение комплексных чисел работает в точности так же, как сложение векторов.
С умножением интереснее. На плоскости не существует обычного векторного умножения. (Вероятно, вы помните, что есть скалярное умножение, но оно на выходе возвращает не вектор, а число — скаляр; бывает ещё векторное умножение, но оно действует в трёхмерном пространстве, а не на плоскости.) А вот комплексные числа умножать можно. Есть ли у умножения какой-то геометрический смысл? Есть! Но сперва нужно поговорить про полярные координаты.
29.1.4Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Задать точку на плоскости можно по-разному. Можно — её координатами в декартовой системе, как мы это обычно делаем. А можно — в полярных координатах.Возьмём некоторое направление — например, направление горизонтальной координатной оси от начала координат в сторону плюс бесконечности. Рассмотрим теперь какую-нибудь точку . Она однозначно задаётся двумя числами: расстоянием до начала координат и углом , который составляет с нашим исходным направлением. Числа и называются полярными координатами точки .
Полярные координаты иногда бывают удобнее декартовых. Например, чтобы задать единичную окружность, в декартовых координатах приходится вспоминать про теорему Пифагора и записывать уравнение , а в полярных соответствующее уравнение выглядит гораздо проще: .
Если заданы полярные координаты, восстановить декартовы легко. Если , то и — это определение синуса и косинуса. Если , всю картинку нужно растянуть в раз, то есть умножить обе координаты на . Получается такая штука:
Умножение в тригонометрической форме. Посмотрим, как работает формула умножения комплексных чисел (29.1), если представлять их не в декартовых координатах, а в комплексных.
Верный ответ. Верно! Собственно, если взять число , умножить его на , оно повернётся как раз на в положительном направлении (против часовой стрелки).
Неверный ответ. Попробуйте взять число и умножить его на . Куда оно повернётся?
Неверный ответ. Попробуйте взять число и умножить его на . Куда оно повернётся?
Неверный ответ. Попробуйте взять число и умножить его на . Что с ним произойдёт?
29.1.5Комплексное сопряжение и деление
Обсудим ещё две важные операции. Во-первых, с комплексным числом можно сделать такую штуку, которую нельзя сделать в вещественным числом: поменять знак мнимой части. Вернее, сделать её с вещественным числом можно, но вещественное число от этого не поменяется. Если же у комплексного числа есть ненулевая мнимая часть, её знак заменится на противоположный и получится другое комплексное число. Эта операция называется комплексным сопряжением и обозначается чертой:Рассмотрим теперь любое число . Что будет, если умножить его на сопряженное?
Научимся теперь делить комплексные числа. Для этого научимся для всякого находить такое число , что . То есть — обратное к .
Начнём с равенства, которое мы только что вывели:
29.2Функции от комплексных чисел
29.2.1Возведение в квадрат
Мы начали с того, что добавили к обычным вещественным числам одно-единственное число — квадратный корень из минус единицы — и пообещали, что в получившейся системе чисел можно будет найти квадратный корень из любого числа. Давайте проверим, что это верно. Но сначала разберёмся, как действует возведение в квадрат.Пусть , , то есть — это отобржаение из в — как говорят, комплекснозначная функция комплексного аргумента. К сожалению, представлять такие функции так, как мы привыкли, в виде графиком, практически невозможно — поскольку комплексное число соответствует двум вещественным, график такой функции пришлось бы рисовать в четыерёхмерном пространстве, которое очень трудно представить. Попробуем по-другому.
Запишем в тригонометрической форме:
Как действует это отображение? Для простоты рассмотрим случай, когда с радиусом ничего не происходит — а именно, пусть . В этом случае наше квадратичное отображение просто удваивает аргумент, то есть отображает точку на единичной окружности с угловой координатой в точку .
Пусть точка постепенно обходит окружность от точки в положительном направлении (против часовой стрелки). Что происходит с ? Она также обходит окружность, но вдвое быстрее, см. анимацию на рис. 29.1. Когда сделает четверть оборота и окажется в точке с (то есть в точке ), её квадрат сделает полоборота и окажется в — так и должно быть, мы знаем, что . Дальше будет преодолевать расстояние от до , за это время преодолеет ещё полоборота и окажется в точке . Всё логично: . Потом будет проходить вторую половину окружности, а — обходить всю окружность по второму разу. В частности, в тот момент, когда попадёт в точку (что соответствует ), её квадрат снова попадёт в . То есть не только , но и (что, конечно, мгновенно следует из правила «минус на минус даёт плюс», которое никто не отменял). Итак, полное прохождение окружности точкой соответствует двукратному прохождению окружности точкой ?