29Комплексные числа

Мы начинали курс с обсуждения чисел, ими же и закончим. Всё началось с натуральных чисел. Натуральные числа можно складывать, умножать и возводить в степени, но не всегда можно вычитать. Попробуйте-ка вычесть пять из трёх — если вам известны только натуральные числа, не получится. Приходится изобретать отрицательные. С отрицательными числами вычитание работает без проблем, но с делением есть трудности — четыре на два поделятся, а на три — нет. Рациональные числа лишены этой проблемы: делить можно что угодно на что угодно, кроме нуля (с нулём так всегда будет, тут уж ничего не поделать). Однако, корни извлекать не всегда получается — например, корень из двух не является рациональным числом. Чтобы эту проблему решить, придумали вещественные числа. Теперь корни извлекаются — но только из неотрицательных чисел. А что делать, если очень хочется извлечь корень из отрицательного числа? Как обычно — придумывать новые числа!

29.1Построение комплексных чисел

29.1.1Мнимая единица

Когда мы не смогли поделить четыре на три, мы сказали — ну и ладно, давайте просто объявим, что $4/3$ — это новое число — не натуральное и не целое, но рациональное. Потом мы придумали две вещи: во-первых, как вложить множество целых чисел в множество рациональных — мы знаем, что целое число $3$ — это то же самое, что рациональное число $3/1$. Во-вторых, как рациональные числа складывать и умножать.

С корнями из отрицательных чисел можно поступить аналогично. Допустим, очень хочется вычислить квадратный корень из минус единицы. Давайте считать, что мы его вычислили, и обозначим результат через $i$. Эта штука называется мнимой единицей. Мы бы хотели извлекать квадратный корень не только из минус единицы, но и из других отрицательных чисел. Однако, как мы скоро увидим, ничего специального для этого делать не придётся.

Конечно, $i$ не является вещественным числом, поскольку мы хорошо знаем, что квадрат любого вещественного числа неотрицателен (ну вот просто так мы определили операции — минус на минус даёт плюс, поэтому отрицательного ничего не получится). Тем не менее, давайте считать, что это всё-таки число — какого-то нового, невиданного доселе типа — и что его можно включать в арифметические операции.

Самое главное (и, по большому счёту, единственное), что мы знаем про $i$ и арифметические операции — что если его умножить на себя, то получится минус единица:

Взаимодействие $i$ с вещественными числами определим самым простым образом: никак. То есть выражение, например, $(2+3i)$ никак нельзя упростить — это просто запись одного из наших новых чисел. Когда мы придумали рациональные числа, у каждого такого числа оказалось две части — числитель и знаменатель, оба относились к ранее определенным классам чисел — целым и натуральным. А у комплексных чисел тоже две части, одна без $i$, а другая с $i$.

Итак, по определению, множество комплексных чисел — это множество

Пусть $z=x+iy$ — какое-то комплексное число. Тогда $x$ называется его вещественной частью (real), а $y$ — мнимой (imaginary). Обозначаются: Заметим, что $x$ и $y$ — вещественные числа. Всю комплексную магию добавляет число $i$.

29.1.2Арифметические операции с комплексными числами

В дальнейшем мы будем предполагать, что привычные для нас правила работы с числами — например, «от перестановки слагаемых сумма не меняется» и т.д. сохраняются и в случае комплексных чисел — по крайней мере, до тех пор, пока это возможно.

Сложение. Пусть $z_1=x_1+i{y}_1$ и $z_2=x_2+i{y}_2$ — два комплексных числа. Их сумма определяется так:

Я воспользовался стандартными правилами — про перестановку слагаемых и про вынесение за скобку. Таким образом, чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их вещественные и мнимые части по отдельности.

Умножение. Тут будет посложнее.

Коммутативность умножения, в которую мы по-прежнему верим, позволяет сказать, что $x_{1}i{y}_2=i{x}_1{y}_2$ и $i{y}_{1}i{y}_2=i\cdot i{y}_1{y}_2=i^2{y}_1{y}_2$. Но мы знаем, что $i^2=-1$, и значит получается $-y_1{y}_2$. Итак: Формула не самая короткая, и сходу даже непонятно, какие свойства у этой операции. Например, точно ли выполняется ассоциативность ($\left(z_1{z}_2\right)z_3=z_1\left(z_2{z}_3\right)$), как сложение взаимодействует с умножением и т.д. — всё это надо проверять (спойлер: всё работает). Чуть попозже мы обсудим, как умножение записывать короче и как правильно о нём думать.

29.1.3Комплексная плоскость

Всякие комплексное число задаётся парой вещественных чисел — действительной и мнимой частью. С другой стороны, мы знаем, что парами вещественных чисел задаются точки на плоскости. Каждой точке можно также сопоставить радиус-вектор — стрелочку, которая начинается в нуле, а заканчивается в этой точке. (Эту стрелочку также можно переносить по всей плоскости, сохраняя направление и длину — иногда бывает полезно откладывать вектор не от нуля, а от другой точки.) Мы будем думать про комплексные числа как про такие векторы. Точка $(1,0)$ и её радиус-вектор соответствуют вещественному числу $1$, а точка $(0,1)$ — числу $i$.

Вероятно, вы помните, что векторы на плоскости складываются по правилу параллелограмма или правилу треугольника (что в сущности одно и то же). В координатах, сложение векторов происходит покомпонентно — первая компонента первого вектора складывается с первой компонентой второго, втарая — со второй. Точно так же складываются комплексные числа. Поэтому сложение комплексных чисел работает в точности так же, как сложение векторов.

С умножением интереснее. На плоскости не существует обычного векторного умножения. (Вероятно, вы помните, что есть скалярное умножение, но оно на выходе возвращает не вектор, а число — скаляр; бывает ещё векторное умножение, но оно действует в трёхмерном пространстве, а не на плоскости.) А вот комплексные числа умножать можно. Есть ли у умножения какой-то геометрический смысл? Есть! Но сперва нужно поговорить про полярные координаты.

29.1.4Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Задать точку на плоскости можно по-разному. Можно — её координатами в декартовой системе, как мы это обычно делаем. А можно — в полярных координатах.

Возьмём некоторое направление — например, направление горизонтальной координатной оси от начала координат в сторону плюс бесконечности. Рассмотрим теперь какую-нибудь точку $P$. Она однозначно задаётся двумя числами: расстоянием до начала координат $O$ и углом $\phi$, который составляет $OP$ с нашим исходным направлением. Числа $r$ и $\phi$ называются полярными координатами точки $P$.

Полярные координаты иногда бывают удобнее декартовых. Например, чтобы задать единичную окружность, в декартовых координатах приходится вспоминать про теорему Пифагора и записывать уравнение $x^2+y^2=1$, а в полярных соответствующее уравнение выглядит гораздо проще: $r=1$.

Если заданы полярные координаты, восстановить декартовы легко. Если $r=1$, то $x=\cos \phi$ и $y=\sin \phi$ — это определение синуса и косинуса. Если $r\ne 1$, всю картинку нужно растянуть в $r$ раз, то есть умножить обе координаты на $r$. Получается такая штука:

Вернёмся к комплексным числам. Их тоже можно задавать в полярных координатах: Число $r$ называется модулем комплексного числа, оно равно расстоянию от точки $(Rez,Imz)$ до начала координат, а число $\phi$ называется аргументом. Обозначения такие: Таким образом, для любого $z$,

Умножение в тригонометрической форме. Посмотрим, как работает формула умножения комплексных чисел (29.1), если представлять их не в декартовых координатах, а в комплексных.

Теперь нужно внимательно вглядеться и напрячь память… это же формулы для косинуса и синуса суммы!Итак, при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются. В отличие от формулы (29.1), это правило реально запомнить, и оно имеет интересный геометрический смысл: умножение на комплексное число работает как поворот плоскости.

29.1.5Комплексное сопряжение и деление

Обсудим ещё две важные операции. Во-первых, с комплексным числом можно сделать такую штуку, которую нельзя сделать в вещественным числом: поменять знак мнимой части. Вернее, сделать её с вещественным числом можно, но вещественное число от этого не поменяется. Если же у комплексного числа есть ненулевая мнимая часть, её знак заменится на противоположный и получится другое комплексное число. Эта операция называется комплексным сопряжением и обозначается чертой:Геометрически комплексное сопряжение соответствует отражению плоскости относительно вещественной оси. Если применить комплексное сопряжение дважды, всё вернётся на место:

Рассмотрим теперь любое число $z$. Что будет, если умножить его на сопряженное?

Получается вещественное число — квадрат модуля $z$.

Научимся теперь делить комплексные числа. Для этого научимся для всякого $z\ne 0$ находить такое число $w$, что $wz=1$. То есть $w$ — обратное к $z$.

Начнём с равенства, которое мы только что вывели:

и поделим его на $|z{|}^2$, при условии, что $z\ne 0$ и следовательно $|z|\ne 0$:Итак, обратное к $z$ — это числоПочему такая запись лучше, чем просто $w=1/z$? Потому что в формуле выше мы делим на вещественное число $|z{|}^2$, а как умножать (и делить) на вещественные числа мы знаем — это можно делать покомпонентно (см. замечание 1). Можно записать операцию деления в обычных координатах: а можно и в полярных: взятие комплексного сопряжения меняет знак аргумента, а чтобы поделить комплексное число на вещественное, достаточно поделить его модуль:Ну а раз для всякого числа $z$ определено обратное к нему число $w$, то деление устроено как обычно — как умножение на обратное:

29.2Функции от комплексных чисел

29.2.1Возведение в квадрат

Мы начали с того, что добавили к обычным вещественным числам одно-единственное число $i$ — квадратный корень из минус единицы — и пообещали, что в получившейся системе чисел можно будет найти квадратный корень из любого числа. Давайте проверим, что это верно. Но сначала разберёмся, как действует возведение в квадрат.

Пусть $f\left(z\right)=z^2$, $z\in C$, то есть $f$ — это отобржаение из $C$ в $C$ — как говорят, комплекснозначная функция комплексного аргумента. К сожалению, представлять такие функции так, как мы привыкли, в виде графиком, практически невозможно — поскольку комплексное число соответствует двум вещественным, график такой функции пришлось бы рисовать в четыерёхмерном пространстве, которое очень трудно представить. Попробуем по-другому.

Запишем $z$ в тригонометрической форме:

Тогдапри возведении в квадрат модуль возводится в квадрат, а аргумент умножается на два.

Как действует это отображение? Для простоты рассмотрим случай, когда с радиусом ничего не происходит — а именно, пусть $r=1$. В этом случае наше квадратичное отображение просто удваивает аргумент, то есть отображает точку на единичной окружности с угловой координатой $\phi$ в точку $2\phi$.

Пусть точка $z$ постепенно обходит окружность от точки $\phi =0$ в положительном направлении (против часовой стрелки). Что происходит с $z^2$? Она также обходит окружность, но вдвое быстрее, см. анимацию на рис. 29.1. Когда $z$ сделает четверть оборота и окажется в точке с $\phi =\pi /2$ (то есть в точке $i$), её квадрат сделает полоборота и окажется в $(-1)$ — так и должно быть, мы знаем, что $i^2=-1$. Дальше $z$ будет преодолевать расстояние от $\phi =\pi /2$ до $\phi =\pi$, за это время $z^2$ преодолеет ещё полоборота и окажется в точке $1$. Всё логично: $(-1{)}^2=1$. Потом $z$ будет проходить вторую половину окружности, а $z^2$ — обходить всю окружность по второму разу. В частности, в тот момент, когда $z$ попадёт в точку $-i$ (что соответствует $\phi =3\pi /2$), её квадрат снова попадёт в $-1$. То есть не только $i^2=-1$, но и $(-i{)}^2=-1$ (что, конечно, мгновенно следует из правила «минус на минус даёт плюс», которое никто не отменял). Итак, полное прохождение окружности точкой $z$ соответствует двукратному прохождению окружности точкой $z^2$?