15Производная функции
Исторически математический анализ произошёл из задач механики, из необходимости описывать движение физических тел, их скорости и ускорения. Со временем оказалось, что в тех же терминах можно говорить о множестве разных процессов и объектов. В этой лекции мы введём понятие производной, формализующее идею о скорости какого-либо изменения.15.1Определение производной
15.1.1Функции как динамические процессы
Рассмотрим функцию и пусть — это время, а — результат измерения какой-то величины в момент времени . Это может быть артериальное давление у пациента, или популяция некоторого вида, или количество людей, зараженных вирусом — что угодно. Но проще всего про это думать так: есть точка, которая может двигаться вверх и вниз, — это вертикальная координата (то есть просто высота) этой точки в момент времени . Тогда про эту функцию можно думать в динамических терминах. Например, рассмотрим функцию, заданную графиком на рис. 15.1. Этот график можно интерпретировать следующим образом. В момент времени точка находилась на высоте . Она сразу стала двигаться вверх, и спустя две единицы времени, в момент достигла высоты . Тут она на мгновение остановилась (перестала двигаться вверх) и изменила направление движения. Далее она двигалась вниз на протяжении четырёх единиц времени, до момента . Тут она снова на мгновение остановилась, и стала двигаться вверх, вплоть до момента времени (точка достигла высоты ). Дальнейшая её судьба неизвестна.