15Производная функции

Исторически математический анализ произошёл из задач механики, из необходимости описывать движение физических тел, их скорости и ускорения. Со временем оказалось, что в тех же терминах можно говорить о множестве разных процессов и объектов. В этой лекции мы введём понятие производной, формализующее идею о скорости какого-либо изменения.

15.1Определение производной

15.1.1Функции как динамические процессы

Рассмотрим функцию $y=f\left(x\right)$ и пусть $x$ — это время, а $y$ — результат измерения какой-то величины в момент времени $x$. Это может быть артериальное давление у пациента, или популяция некоторого вида, или количество людей, зараженных вирусом — что угодно. Но проще всего про это думать так: есть точка, которая может двигаться вверх и вниз, $f\left(x\right)$ — это вертикальная координата (то есть просто высота) этой точки в момент времени $x$. Тогда про эту функцию можно думать в динамических терминах. Например, рассмотрим функцию, заданную графиком на рис. 15.1. Этот график можно интерпретировать следующим образом. В момент времени $x=-4$ точка находилась на высоте $y=-1$. Она сразу стала двигаться вверх, и спустя две единицы времени, в момент $x=-2$ достигла высоты $y=3$. Тут она на мгновение остановилась (перестала двигаться вверх) и изменила направление движения. Далее она двигалась вниз на протяжении четырёх единиц времени, до момента $x=2$. Тут она снова на мгновение остановилась, и стала двигаться вверх, вплоть до момента времени $x=4$ (точка достигла высоты $y=3$). Дальнейшая её судьба неизвестна.

Именно такую интерпретацию функций мы будем использовать в дальнейшем в этой лекции.

15.1.2Производная как мгновенная скорость

Рассмотрим функцию, заданную графиком на рис. 15.3. Пусть нас интересует скорость движения точки в какой-то момент времени $x_0$.

В школе нас учат, что чтобы найти скорость, нужно поделить расстояние на время. Рассмотрим период от момента $x_0$ до момента $x_0+\Delta x$, где $\Delta x$ — какое-то небольшое число. (Выражение $\Delta x$ нужно воспринимать как неделимый символ, читается «дельта-икс».) В начале периода точка имела высоту $f\left(x_0\right)$, а в конце — $f(x_0+\Delta x)$. Пройденное расстояние между двумя моментами равно разности этих двух значений: Тут нужно иметь в виду, что нас интересует «чистое расстояние», вычисляемое с учётом знака — не «сколько мы проехали», а «на сколько поднялись». Например, если в течение этого промежутка точка в какой-то момент двигалась вниз, в это время «пройденное расстояние» уменьшалось, а не увеличивалось. Также «расстояние» может быть отрицательным, если новое значение высоты $f(x_0+\Delta x)$ окажется меньше исходного (то есть в итоге точка опустилась ниже, чем была).

Вернёмся к вычислению скорости. Время движения равно просто $\Delta x$. Значит, скорость движения — вернее, средняя скорость движения на интервале от $x_0$ до $x_0+\Delta x$ находится по формуле:

Однако, нужно иметь в виду, что на промежутке от $x_0$ до $x_0+\Delta x$ движение не обязано быть равномерным — в какие-то моменты точка могла двигаться быстрее, в какие-то медленнее. Нас же интересует, что происходит в сам момент времени $x_0$, интересует мгновенная скорость в этот момент. Чтобы изменение скорости на промежутке длиной $\Delta x$ не влияло на оценку скорости в момент $x_0$, нужно сделать длину этого промежутка как можно меньше. Иными словами, перейти к пределу при $\Delta x\to 0$. Так мы и получим производную.

15.2Интерпретация производной

15.2.1Линейная функция и равномерное движение

Рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx+b$. Это хорошо известная линейная функция (по крайней мере, в матанализе её называют именно так, хотя специалисты по линейной алгебре с этим могли бы и поспорить). Возьмём произвольный начальный момент $x_0$, произвольный промежуток длины $\Delta x$ и посчитаем среднюю скорость за этот промежуток: Итак, каким бы ни был начальный момент и какой бы промежуток мы ни взяли, средняя скорость будет всегда одинаковой и равной $k$. Таким образом, линейная функция задаёт движение с постоянной скоростью. Производная линейной функции, как следует из определения, во всех точках одинакова и равна $k$.

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом линейной функции $f\left(x\right)=kx+b$ (или угловым коэффициентом прямой, которая является графиком этой функции). Он показывает, на сколько позиций мы сдвинемся вверх, если подождём одну единицу времени (то есть сдвинемся на одну единицу по горизонтали), см. рис. 15.4.

Геометрически, угловой коэффициент — это тангенс угла наклона прямой, заданной как график линейной функции, к горизонтальной оси.

15.2.2Секущие и касательные

Рассмотрим теперь какую-нибудь нелинейную функцию, например, такую, график которой изображён на рис. 15.5. Пусть нас интересует производная в точке $x_0$. Рассмотрим выражение под знаком предела в определении производной (15.1) и возьмём какое-то конкретное значение $\Delta x$. Проведём прямую через точки $(x_0,f(x_0\left)\right)$ и $(x+\Delta x,f(x+\Delta x\left)\right)$. Она называется секущей для графика функции $y=f\left(x\right)$. Поскольку секущая — это прямая, она является графиком линейной функции. Угловой коэффициент этой прямой как раз и равен средней скорости. Иными словами, если мы хотим двигаться равномерно (с постоянной скоростью) на промежутке времени от $x_0$ до $x_0+\Delta x$ и при этом пройти именно то расстояние, которое мы прошли: от $f\left(x_0\right)$ до $f(x_0+\Delta x)$, то нужно двигаться как раз со средней скоростью на этом промежутке. Будем теперь уменьшать $\Delta x$. В этом случае одна точка на графике будет неподвижной, а другая будет к ней приближаться, см. анимацию на рис. 15.6. Секущая при этом может поворачиваться вокруг точки $(x_0,f(x_0\left)\right)$. Однако если существует предел в определении производной, то у секущей будет существовать предельный угловой коэффициент, и значит предельное положение — она будет «стремиться» (в кавычках — потому что мы не определяли, что может значить «стремиться» для прямых) к прямой, проходящей через точку $(x_0,f(x_0\left)\right)$ с угловым коэффициентом $k=f^{\prime }\left(x_0\right)$. У этой прямой есть специальное название: касательная.

Про касательную можно думать так. Представьте себе, что график на рис. 15.5 вблизи точки $(x_0,f(x_0\left)\right)$ вырезан из фанеры — вернее, то, что находится над графиком — это кусок фанеры, а то, что под графиком, мы отрезали лобзиком (ровно по графику). Теперь можно взять недлинную линейку и приложить её к графику в точке $(x_0,f(x_0\left)\right)$ как можно плотнее. Тогда линейка пройдёт ровно вдоль касательной, см. рис. 15.7.

15.2.3Производная как функция

Выбирая разные точки в качестве $x_0$ в определении производной, мы будем получать разное значение предела (15.1). Таким образом, производная функции — это новая функция.

Полезно представлять себе визуально, как связан график функции и график её производной. По определению, производная — это мгновенная скорость возрастания функции в точке. Таким образом, если по графику видно, что где-то функция возрастает, то её производная там положительна. Если возрастает быстро, производная большая. Если убывает, производная отрицательна, и так далее. (Аккуратные формулировки для этих утверждений мы приведём позже, а потом их докажем.) Можно мысленно прикладывать касательные в разных точках, прикидывать их угловые коэффициенты и находить таким образом точки на графике производной.

Рассмотрим, например, график, изображенный на рис. 15.9 сверху, и прикинем, чему равна производная в отмеченных точках.

В точке $x_1$ функция убывает, равно как и в точке $x_2$. Но если посмотреть на касательные в этих точках, видно, что в $x_1$ функция убывает быстрее, чем в $x_2$ (в $x_1$ касательная ближе к вертикальной, график более крутой, чем в $x_2$), то есть $f^{\prime }\left(x_1\right)<f^{\prime }\left(x_2\right)<0$. Можно отметить на графике касательной две точки: они обе должны быть ниже горизонтальной оси, и точка, соответствующая $x_1$, ниже, чем та, которая соответствует $x_2$. Теперь посмотрим на точку $x_3=0$. В ней касательная горизонтальна. Выражаясь динамическим языком, это момент разворта: левее мы двигались вниз (функция убывала), в момент времени $0$ на мгновение остановились и потом стали двигаться вверх. Мгновенная скорость в точке $0$ равна нулю. Это значит, что соответствующая точка на графике касательной будет лежать на горизонтальной оси. Наконец, можно посмотреть на точки $x_4$ и $x_5$. Мы видим, что в обоих точках функция возрастает, но в $x_5$ возрастает быстрее, чем в $x_4$ — график со временем становится начинает расти круче. Это означает, что производная в точке $x_5$ больше производной в $x_4$, и это также нужно отразить на графике производной. Получается кривая, похожая на изображенную на рисунке 15.9 внизу.

Весь этот анализ мы провели, исходя просто из формы графика, не обращаясь к формулам. Конечно, наш результат носит качественный характер — чисто глазомерно нельзя найти точных значений производной функции, которая задана графиком, нарисованным от руки. Тем интереснее сравнить эти «глазомерные» результаты с точно посчитанными.

График, который мы нарисовали, похож на параболу, график функции $f\left(x\right)=x^2$. Давайте найдём её производную, пользуясь опредлением:

Точка $x_0$ произвольная, можно заменить её просто на $x$ и записать $f^{\prime }\left(x\right)=2x$. Скорее всего, вы помните эту формулу из школьного курса. Таким образом, график производной — это прямая линия. И она ведёт себя именно так, как мы нарисовали!

15.3Существование производной

15.3.1Дифференцируемость и непрерывность

Всякий раз, когда мы видим определение, заданное с помощью предела, мы должны задать вопрос: а всегда ли существует этот предел? Как правило, ответ: «не всегда». Это относится и к производной.

Что может помешать функции быть дифференцируемой? Много что.

Во-первых, чтобы предел (15.1) в принципе имел бы смысл, функция $f$ должна быть определена в точке $x_0$ (иначе нельзя посчитать $f\left(x_0\right)$) и некоторой её окрестности (иначе нельзя посчитать $f(x_0+\Delta x)$). Но этого, конечно, мало.

Необходимым условием дифференцируемости является непрерывность. Если функция не является непрерывной в точке, то она точно не является дифференцируемой в этой точке. Это можно сформулировать в виде следующей теоремы.

15.3.2Точки изломов

Итак, чтобы быть дифференцируемой в некоторой точке, функция должна быть по меньшей мере непрерывной в этой точке. Но достаточно ли этого? Оказывается, нет.

15.3.3Вертикальные касательные

Точки изломов, как у функции $f\left(x\right)=|x|$ — один из механизмов, как непрерывная функция может быть не дифференцируемой. Но он не единственный.

Вертикальные касательные и изломы — не единственные причины, по которым функция может не будет дифференцируемой — но, пожалуй, самые важные с практической точки зрения. С некоторыми другими способами вы встретитесь на семинаре.

15.4Касательные и линейные приближения

15.4.1Формулировка и иллюстрация

По своему смыслу, касательная — это такая прямая, которая проходит вблизи графика функции (что, собственно, и означает «касается»). Чтобы придать этому аккуратный смысл, сформулируем такое утверждение.

Прежде, чем приступить к доказательству, давайте обсудим, что всё это значит. Что означает условие (15.3)? С помощью замены $x=x_0+\Delta x$, его можно переписать в таком виде:

Пусть $f$ дифференцируема в точке $x_0$ и $k=f^{\prime }\left(x_0\right)$. Рассмотрим функцию $l$, заданную следующим образом:Это линейная функция, графиком которой является касательная к графику $y=f\left(x\right)$ в точке $x_0$. Действительно, во-первых, она проходит через точку $(x_0,f(x_0\left)\right)$ (подставьте $x=x_0$ и убедитесь в этом). А во-вторых, её угловой коэффициент равен значению производной в точке $x_0$.

Таким образом, равенство (15.4) записывается в виде:

Если бы в нём не было второго слагаемого, это бы просто означало, что функция линейна и её график совпадает с касательной. Второе слагаемое, $\alpha (x-x_0)\cdot (x-x_0)$ показывает, на сколько сильно график функции отклоняется от касательной, см. рис. 15.12. Утверждение, которое мы сейчас рассматриваем, говорит, что это отклонение становится маленьким, если $\Delta x$ маленькое — но не просто маленьким, а «маленьким по сравнению с $\Delta x$». Действительно, если вернуться к выражению (15.3), в правой части мы видим три слагаемых: $f\left(x_0\right)$, $k\Delta x$ и $\alpha \left(\Delta x\right)\Delta x$. Второе и третье слагаемые оба становятся маленькими при маленьких $\Delta x$. Но при этом второе слагаемое пропорционально $\Delta x$, а третье — уменьшается быстрее, чем $\Delta x$. Например, если $k=1/10$, выражение $k\Delta x$ всегда ровно в десять раз меньше $\Delta x$, а выражение $\alpha \left(\Delta x\right)\Delta x$ при уменьшении $\Delta x$ становится в десять, потом в сто, потом в тысячу раз меньше $\Delta x$ — и так во сколько угодно раз меньше.

Почему это важно? Давайте посмотрим на график какой-нибудь функции вблизи фиксированной точки, см. рис. 15.13.

На первом графике различие между графиком нашей функции и её касательной было хорошо заметно, при каждом увеличении это различие становилось всё меньше и меньше, и на последней картинке настоящий график практически не виден — его полностью загораживает касательная, то есть две кривые почти совпадают. Почему так происходит?

Чтобы посмотреть на график под большим увеличением вблизи точки $(x_0,f(x_0\left)\right)$, нужно выбрать на исходной картинке небольшой прямоугольник вблизи этой точки и растянуть его на всю картинку. Пусть в качестве этого прямоугольника мы взяли квадрат со стороной $2h$ (то есть отступили от точки $x_0$ вправо и влево на $h$, и аналогично по вертикали отступили от $f\left(x_0\right)$ вверх и вниз на $h$). Если мы теперь растянем этот квадратик на всю картинку (допустим, размера 1 на 1), то все расстояния умножатся на $1/h$. (Когда $h$ маленькое, $1/h$ большое и произойдёт сильное увеличение.)

Посмотрим теперь на формулу (15.5). Она говорит, что разница между графиком функции и касательной равна $\alpha \left(\Delta x\right)\Delta x$. Поскольку мы рисуем только часть картинки в нашем квадратике, $|\Delta x|\le h$. В новом масштабе, с учётом растяжения в $1/h$ раз, соответствующее расстояние между графиками окажется равно

Но если $h$ маленькое, то $|\Delta x|$ маленький и эта величина стремится к нулю! Таким образом, результат, который мы видим на рис. 15.13, не является чем-то удивительным — в нём вся суть понятия касательной, и на самом деле вся суть идеи дифференцируемости: вблизи фиксированной точки дифференцируемая функция очень близка к линейной функции, задающей касательную в этой точке.

15.4.2Доказательство утверждения о линейном приближении

15.5Заключение

Производная — мощный инструмент анализа функций. Мы аккуратно ввели это понятие и обсудили механическую и геометрическую интуицию, которая за ним стоит. На следующей лекции мы обсудим, как находить производные, а затем — как их применять.

---