1Множества, отображения и числа

1.1Множества

1.1.1Примеры множеств

В математике принято давать строгие определения всем вводимым понятиям. Однако, когда мы даём определение новому понятию, мы описываем его с помощью слов, каждое из которых, по идее, также нуждается в определении. Поскольку этот процесс не может продолжаться до бесконечности, в какой-то момент мы вынуждены остановиться, и сказать, что некоторые понятия мы не будем определять формально.

Это как бы определение даёт мало информации — фактически, в нём сказано, что множество — это набор, а что такое набор — так же непонятно. Чтобы стало чуть более понятно, давайте приведём пару примеров:

Утверждение «элемент $x$ входит в множество $X$» кратко записывается таким образом:

То есть, например, справедливо сказать, что $1\in A$ для множества $A$, определенного в примере 1, а $4\notin A$.

Например, множество $\{1,2\}$ является подмножеством множества $A$ из примера 1, а множество $\{1,2,3,4\}$ — не является.

Обратите внимание на разницу между знаками $\in$ и $\subset$. Например, для множества $A$, справедливо утверждение $1\in A$, справедливо утверждение $\left\{1\right\}\subset A$, но неверно, что $\left\{1\right\}\in A$, поскольку элементами $A$ являются числа, а не множества. Для множества $B$, наоборот, $1\notin B$, зато $\left\{1\right\}\in B$.

Как мы видим из примера 3, множества могут содержать в себе другие множества. Тут может возникнуть соблазн рассмотреть «множество всех возможных множеств», однако это приводит к проблемам (подробнее можно посмотреть в статье про парадокс Рассела в Википедии). Таких проблем удаётся избегать, если мы разрешаем рассматривать лишь множества, которые понятным образом строятся из уже определенных ранее множеств. Так мы и будем поступать. Есть более аккуратные способы определения множеств путём ввода некоторой системы аксиом, но для всех практических целей нам будет достаточно «наивного» понятия о множествах, которое обсуждается здесь.

1.1.2Операции над множествами

Нам понадобятся некоторые известные операции с множествами.

1.2Отображения

Вы наверняка встречались с понятием функции. В математике есть два набора терминов, которые описывают одно и то же — в одних случаях используется слово «функция», в других — «отображение». Слово «отображение» выглядит чуть более универсальным термином. Его можно было бы определить формально, опираясь только на понятие множества, но мы ограничимся неформальным описанием.

Если задано отображение $f$ из множества $X$ в множество $Y$, пишут: Можно представить себе отображение $f:X\to Y$ как такую картинку, в которой из каждого элемента множества $X$ выходит стрелочка, которая ведёт к какому-то элементу множества $Y$. При этом стрелочки обязаны выходить из всех элементов $X$, но не обязаны входить во все элементы $Y$. Важно также, что из каждого элемента $X$ выходит ровно одна стрелочка, то есть каждый элемент множества $X$ отображается ровно в один элемент множества $Y$.

1.3Числа

Основным строительным материалом для всего последующего курса будут различные числовые множества.

1.3.1Натуральные числа

Множество натуральных чисел $\{1,2,3,\dots \}$ обозначается буквой $N$. Единственный камень преткновения: считать ли ноль натуральным числом. Как правило, натуральные числа «определяются» как «числа, используемые при счёте предметов». В этом случае среди натуральных чисел нет нуля, и это соответствует распространённому в России соглашению. Есть другой подход — сказать, что натуральные числа — это «мощности конечных множеств» (см. определение 8). В этом случае ноль следовало бы считать натуральным, потому что это мощность пустого множества. Такое соглашение принято, например, во Франции. Мы будем использовать соглашение, принятое в России, и не будем считать 0 натуральным числом.

1.3.2Целые числа

Множество целых чисел обозначается буквой $Z=\{0,1,-1,2,-2,\dots \}$. Натуральные числа являются подмножеством целых (натуральные числа — это в точности целые положительные числа).

Каких чисел больше: натуральных или целых? Казалось бы, отрицательных целых чисел «столько же», сколько положительных, то есть натуральные числа входит в число целых дважды, да ещё остаётся ноль. То есть целых должно быть вдвое больше, чем натуральных (и ещё чуть-чуть больше). На самом деле, для бесконечных множеств такая логика не работает: легко придумать взаимно однозначное соответствие между натуральными и целыми числами (например, можно воспользоваться тем, как эти множества записаны выше: $1$ отобразить в $0$, $2$ в $1$, $3$ в $-1$, $4$ в $2$, $5$ в $-2$ и т.д.), так что с тем же успехом можно сказать, что их «поровну». Аккуратное утверждение состоит в том, что множества целых и натуральных чисел равномощны.

1.3.3Рациональные числа

Множество рациональных чисел $Q$ состоит из всевозможных обыкновенных дробей вида $\{\frac{p}{q}\mid p\in Z,q\in N\}$, то есть дробей с целым числителем и натуральным знаменателем. Конечно, мы знаем, что бывают разные дроби, задающие одно и то же число: например, $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Вообще, для любого целого $m\ne 0$, дроби $\frac{p}{q}$ и $\frac{pm}{qm}$ задают одно и то же число.

Арифметические операции с рациональными числами задаются с помощью стандартных правил действий с обыкновенными дробями.

Целые числа входят в множество рациональных чисел — это в точности рациональные числа со знаменателем $1$.

Если числа $m$ и $n$ взаимно просты, дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой. (Если бы у $m$ и $n$ были натуральные делители, отличные от $1$, на них можно было сократить, а так сокращать не на что.)

Эта теорема кажется очевидной, но на самом деле таковой не является. Например, если бы мы разрешили знаменателю принимать не только натуральные, но и любые целые ненулевые значения, теорема была бы неверна: $\frac{1}{2}=\frac{-1}{-2}$, хотя обе дроби несократимы. Её аккуратное доказательство требует либо веры в основную теорему арифметики (о том, что любое целое число однозначно задаётся в виде произведения простых сомножителей), которая имеет не очень короткое доказательство, либо использования алгоритма Евклида. Второй подход приведён в виде серии задачи в семинарских листочках.

1.3.4Вещественные числа

С вещественными (действительными) числами всё сложно. Интуитивно, вещественные числа — это длины отрезков, площади фигур и т.д. Но чтобы аккуратно их ввести в математику, человечество потратило несколько тысяч лет: тот факт, что длины отрезков могут не выражаться рациональными числами, был известен ещё Древним Грекам за несколько сотен лет до нашей эры, но аккуратно вещественные числа были введены в математику только в XIX веке.

В рамках лекций мы будем следовать «школьному» определению: вещественное число — это бесконечная десятичная дробь, то есть бесконечная вправо последовательность цифр, у которой на каком-то месте стоит десятичная запятая (в англоязычной традиции — десятичная точка).

Чтобы какое-то множество можно было с полным правом называть числовым, нужно, чтобы на нём были определены арифметические операции. Для конечных десятичных дробей это делается с помощью стандартных алгоритмов сложения и умножения (столбиком) и деления (уголком), которые проходят в школе. Для бесконечных десятичных дробей так просто это сделать не получается, и мы не будем этим заниматься — скажем только, что сделать это возможно, и результат будет соответствовать нашим интуитивным представлениям об этих операциях. (Для желающих у нас заготовлена серия задач, в которых вещественные числа определяются несколько иначе — как некоторые множества рациональных чисел — мы их дадим, когда все будут к этому готовы.)

Рациональные числа входят в множество вещественных чисел. Этот факт, вообще говоря, не прямо следует из определения, но его можно доказать, воспользовавшись алгоритмом деления уголком и свойствами геометрических прогрессий, более подробное обсуждение — на семинаре.

Чтобы не казалось, что мы зря возимся с вещественными числами, давайте докажем, что иррациональные числа существуют. Для этого предъявим по крайней мере одно такое число: $\sqrt{2}$.

(Конечно, можно было бы не верить в существование иррациональных чисел, и сказать, что раз $\sqrt{2}$ не является рациональным, то просто нет такого числа, нельзя вычислить квадратный корень из двух, и всё тут; проблема в том, что тогда мы не могли бы никак измерить длину диагонали квадрата со стороной 1, которая, по теореме Пифагора, равна как раз $\sqrt{2}$. Это было бы неудачно.)

---