4Предел последовательности

4.1Примеры и мотивировка

Пусть есть последовательность $\left\{a_n\right\}$. Можно думать про неё как про последовательность результатов измерения какого-то параметра (скажем, населения некоторой страны) в последовательные моменты времени (например, каждый год). Правда, в отличие от реальных результатов измерения, наша последовательность простирается бесконечно далеко в будущее, и именно это «бесконечное будущее» нас и интересует. Есть ли какое-то значение $A$, к которому члены последовательности будут становиться всё ближе и ближе — так, что, со временем их будет всё сложнее и сложнее отличить от $A$?

Давайте рассмотрим несколько примеров.

4.1.1Последовательность $1/2^n$

print("n	a_n")
for n in range(1, 21):
    a_n = 1 / 2 ** n
    print(f"{n}	{a_n:0.5f}") 
    # 0.5f означает, что будут выведены 5 знаков после десятичной точки

n	a_n
1	0.50000
2	0.25000
3	0.12500
4	0.06250
5	0.03125
6	0.01562
7	0.00781
8	0.00391
9	0.00195
10	0.00098
11	0.00049
12	0.00024
13	0.00012
14	0.00006
15	0.00003
16	0.00002
17	0.00001
18	0.00000
19	0.00000
20	0.00000

Но ведь можно увеличить точность! Давайте отображать шесть цифр после запятой!

print("n	a_n")
for n in range(1, 21):
    a_n = 1 / 2 ** n
    print(f"{n}	{a_n:0.6f}") 
    # 0.6f означает, что будут выведены 6 знаков после десятичной точки

n	a_n
1	0.500000
2	0.250000
3	0.125000
4	0.062500
5	0.031250
6	0.015625
7	0.007812
8	0.003906
9	0.001953
10	0.000977
11	0.000488
12	0.000244
13	0.000122
14	0.000061
15	0.000031
16	0.000015
17	0.000008
18	0.000004
19	0.000002
20	0.000001

print("n	a_n")
for n in range(20, 25):
    a_n = 1 / 2 ** n
    print(f"{n}	{a_n:0.6f}") 
    # 0.6f означает, что будут выведены 6 знаков после десятичной точки

n	a_n
20	0.000001
21	0.000000
22	0.000000
23	0.000000
24	0.000000

print("n	a_n")
for n in range(20, 25):
    a_n = 1 / 2 ** n
    print(f"{n}	{a_n:0.7f}") 
    # 0.7f означает, что будут выведены 6 знаков после десятичной точки

n	a_n
20	0.0000010
21	0.0000005
22	0.0000002
23	0.0000001
24	0.0000001

print("n	a_n")
for n in range(24, 30):
    a_n = 1 / 2 ** n
    print(f"{n}	{a_n:0.7f}") 
    # 0.7f означает, что будут выведены 6 знаков после десятичной точки

n	a_n
24	0.0000001
25	0.0000000
26	0.0000000
27	0.0000000
28	0.0000000
29	0.0000000

Это и означает, что она стремится к нулю.

4.1.2Последовательность $\frac{n+1}{n}$

print("n	a_n")
for n in range(1, 10):
    a_n = (n + 1) / n
    print(f"{n}	{a_n:0.5f}") 

n	a_n
1	2.00000
2	1.50000
3	1.33333
4	1.25000
5	1.20000
6	1.16667
7	1.14286
8	1.12500
9	1.11111

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

nmax = 20
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, (n + 1) / n, 'o', markersize=4, label='$y=a_n$')
plt.xticks(range(0, nmax + 1))
plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-0.4, ymax=2.9, 
               xlabel="n", ylabel="y") 

Рис. 4.1: График $y=a_n$.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

nmax = 20
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, (n + 1) / n, 'o', markersize=4, label='$y=a_n$')

n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')

plt.xticks(range(0, nmax + 1))
plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-0.4, ymax=2.9, 
               xlabel="n", ylabel="y") 

Рис. 4.2: График $y=a_n$ и прямая $y=1$.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

nmax = 75 ##
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, (n + 1) / n, 'o', markersize=4, label='$y=a_n$')

n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')

#plt.xticks(range(0, nmax + 1)) 
plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-0.4, ymax=2.9, 
               xlabel="n", ylabel="y") 

Рис. 4.3: График $y=a_n$: взяли побольше точек.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

nmax = 75 ##
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, (n + 1) / n, 'o', markersize=2, label='$y=a_n$')

n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')

#plt.xticks(range(0, nmax + 1)) 
plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=0, ymax=1.11, 
               xlabel="n", ylabel="y") 

Рис. 4.4: График $y=a_n$: увеличили масштаб вертикальной оси.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

nmax = 420 
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, (n + 1) / n, 'o', markersize=2, label='$y=a_n$')

n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')

#plt.xticks(range(0, nmax + 1)) 
plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=0, ymax=1.11, 
               xlabel="n", ylabel="y") 

Рис. 4.5: График $y=a_n$: увеличили масштаб вертикальной оси, а потом взяли ещё больше точек

Так можно продолжать до бесконечности. Увеличивать масштаб вертикальной оси (и следовательно нашу способность различать близкие точки) — находить зазор — увеличивать количество точек — делать зазор неразличимым.

В общем, можно предположить, что наша последовательность стремится к числу 1. В принципе, это неудивительно. Можно преобразовать формулу для общего члена последовательности:

4.1.4«Скачущая» последовательность

Более внимательный анализ показывает, что это определение неверно. Например, последовательность $\frac{n+1}{n}$, которую мы только что рассматривали, «становится всё ближе и ближе» не только к $1$, но и, например, к $0$ — причём каждый следующий член ближе, чем предыдущий. Тем не менее, нельзя сказать, что она стремится к $0$.

Более того, требование «каждый следующий член ближе, чем предыдущий», оказывается излишним.

Давайте рассмотрим такую последовательность:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

nmax = 20 
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, 1 + np.where(n % 2 == 1, 1 / n, 3 / n), 
         '--o', markersize=4, label='$y=a_n$')

plt.xticks(range(0, nmax + 1)) 
n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')

plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=0, ymax=3.11, 
               xlabel="n", ylabel="y") 

Рис. 4.6: Последовательность приближается и отдаляется от 1, но всё равно к ней стремится. Точки соединены пунктирной линией исключительно для наглядности: значения последовательности для нецелых $n$ не определено.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

nmax = 90 
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, 1 + np.where(n % 2 == 1, 1 / n, 3 / n), '--o', markersize=4, label='$y=a_n$')

# plt.xticks(range(0, nmax + 1)) 
n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')

plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=0, ymax=3.11, 
               xlabel="n", ylabel="y") 

Рис. 4.7: Последовательность приближается и отдаляется от 1, но всё равно к ней стремится.

4.1.5Последовательности без предела

Пример 2. Последовательность

$$\begin{array}{}{a}_n=(-1{)}^n+\frac{1}{n}.& \text{(4.1)}\end{array}$$

В зависимости от чётности $n$, первое слагаемое оказывается равно $1$ или $-1$. Посмотрим, как выглядит график этой последовательности (рис. 4.8).

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

nmax = 20 
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, (-1) ** n + 1 / n, '--o', markersize=4, label='$y=a_n$')

plt.xticks(range(0, nmax + 1)) 
n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')
plt.plot(n_full, -np.ones_like(n_full), label='$y=-1$')

plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-1.9, ymax=1.9, 
               xlabel="n", ylabel="y") 

Рис. 4.8: Последовательность скачет между двумя точками.

По графику видно, что нет одного числа, к которому члены последовательности были бы очень близки при больших $n$: она скачет между двумя значениями, $1$ и $-1$.

Пример 3. Наконец, рассмотрим такую последовательность:

$$\begin{array}{}{a}_n=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2},& \exists k\in N:n=2^k;\\ \frac{n+1}{n},& \forall k\in N:n\ne 2^k.\end{array}& \text{(4.2)}\end{array}$$

Эта последовательность устроена так. Для тех $n$, которые являются степенями двойки ($1$, $2$, $4$, $8$, $16$ и т.д.), $a_n$ равно $\frac{1}{2}$. Для остальных $n$, $a_n$ равно $\frac{n+1}{n}$. Посмотрим на график на рис. 4.9.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

nmax = 20 
n = np.arange(1, nmax + 1)
plt.plot(n, np.where(np.isclose(np.log2(n) % 1, 0), 0.5, (n + 1) / n),
         '--o', markersize=4, label='$y=a_n$')

plt.xticks(range(0, nmax + 1)) 
n_full = np.linspace(0, nmax + 1)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), label='$y=1$')

plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-0.4, ymax=1.9, 
               xlabel="n", ylabel="y") 

Рис. 4.9: Последовательность всё реже и реже убегает от предельного значения

Понятно, что для тех номеров, которые не являются степенями двойки, элементы становятся сколь угодно близки к 1. Время от времени последовательность «убегает» в точку $\frac{1}{2}$, однако эти моменты, будучи степенями двойки, встречаются всё реже и реже. Если бы мы стартовали с больших значений $n$, мы могли бы очень долго наблюдать последовательность, которая становится очень близка к 1.

Тем не менее, нельзя сказать, что её предел равен 1. Мы знаем, что с какого бы начального момента времени мы ни стартовали, рано или поздно $n$ окажется степенью двойки, и в этот момент последовательность «скакнёт» в число $1/2$, уйдя от $1$ на заметное расстояние.

4.2Определение предела

4.2.1Интуитивные соображения

1. Первые сколько-то членов могут быть достаточно далеки от $A$, это никак не мешает последовательности стремиться к $A$. Иными словами, «стремление» — это эффект, который зависит только от «хвоста» последовательности.
2. Для достаточно больших значениий $n$ члены последовательности должны становиться настолько близкими к $A$, чтобы их нельзя было отличить от $A$, скажем, на графике или на компьютерной распечатке, на которой числа выводятся с конечной точностью.
3. Этот эффект должен сохраняться для всех достаточно больших $n$. Если последовательность время от времени «убегает» от $A$ на какое-то заметное расстояние, и это происходит сколь угодно далеко в будущем, последовательность не будет стремиться к $A$.
4. Мы можем увеличить точность измерения — например, выводить больше цифр после запятой или увеличить масштаб на графике — и увидеть зазор между членами последовательности и числом $A$. Однако, мы можем взять ещё большие значения $n$, чтобы эффект «неразличимости» вернулся.

4.2.2Вспомогательные понятия

Рис. 4.10: Модуль разности — это расстояние между числами как точками числовой прямой.

Буквой $\epsilon$ (читается «эпсилон» — почему-то со слуха часто кажется, что там в конце есть буква «т» — нет, её нет) мы будем обозначать положительные и как правило маленькие вещественные числа.

Вместо $\epsilon$ здесь можно подставлять другие буквы или конкретные числа — например, $\delta$-близки («дельта-близки») или $0,1$-близки. Скажем, утверждение «число $\pi$ $0,1$-близко к числу $3,14$» является верным, поскольку расстояние между $\pi$ и $3,14$ (модуль разности) меньше, чем $0,1$. Числа $a$ и $b$ будут $\epsilon$-близки, если модуль их разности меньше $\epsilon$: $|a-b|<\epsilon$.

На рис. 4.11 приведена иллюстрация к этому определению. Множество точек, $\epsilon$-близких к точке $A$ — это интервал $(A-\epsilon ,A+\epsilon )$. Если на графике последовательности нарисовать горизонтальные прямые $y=A+\epsilon$ и $y=A-\epsilon$, они образуют своего рода коридор вокруг $A$ (его можно назвать $\epsilon$-коридором). Утверждение, что хвост последовательности $\epsilon$-близок к $A$, означает, что начиная с некоторого номера $n=N+1$, все члены последовательности находятся в интервале $(A-\epsilon ,A+\epsilon )$, а соответствующие им точки на графике живут в нарисованном нами $\epsilon$-коридоре. Точки с номерами меньше или равными $N$, могут как принадлежать коридору, так и выходить из него.

Рис. 4.11: Хвост последовательности $\epsilon$-близок к числу $A$.

Заметим, что в этом определении не сказано, с какого именно члена начинается «хвост последовательности». Более того, для одной и той же последовательности «хвосты» могут быть разными, в зависимости от $\epsilon$.

Теперь мы готовы к Самому Главному Определению.

4.2.3Аккуратное определение предела

Понятие $\epsilon$-близости призвано формализовать идею о том, что два числа близки, если расстояние между ними маленькое. Можно думать, что $\epsilon$ — это точность или разрешающая способность наших измерительных приборов (чем меньше $\epsilon$, тем точнее приборы). В этом случае если два числа отличаются меньше, чем на $\epsilon$, у нас нет практической возможности их различить, для нас они совпадают. Например, если мы печатаем все числа лишь с двумя знаками после запятой, мы можем не различить два числа, расстояние между которыми меньше $\mathrm{0,001}$.

Но какой $\epsilon$ «достаточно маленький»? В отличие от других дисциплин, в математике нет никакого естественного масштаба. С точки зрения географии, расстояние в $1/10$ метра — это очень маленькое расстояние — потому что мы сравниваем его с типичными объектами, изучаемыми географией — странами, городами, морями. А с точки зрения микробиологии — фантастически большое — по сравнению с бактериями или ядром клетки. С точки зрения математики, невозможно даже задать вопрос «является ли $1/10$ маленьким числом?» — потому что непонятно, с чем его сравнивать. Поэтому мы не можем выбрать какой-то конкретный $\epsilon$ и сказать: «последовательность стремится к $A$, если её члены, начиная с некоторого, $\epsilon$-близки к $A$». Как же быть?

Очень просто. Мы потребуем, чтобы утверждение «хвост последовательности $\epsilon$-близок к $A$», выполнялось для любого положительного $\epsilon$. Какой бы ни была разрешающая способность наших измерительных приборов, если подождать достаточно долго, мы перестанем отличать члены нашей последовательности от $A$.

Заметим, что в определении предела, число $N$ (граница «хвоста последовательности») выбирается в зависимости от $\epsilon$ — для разных $\epsilon$ получаются разные $N$. Если последовательность $\left\{a_n\right\}$ стремится к $A$, гарантируется, что для любого $\epsilon$ найдётся «хорошее» $N$. Часто бывает удобно это «хорошее» $N$, подходящее для какого-то $\epsilon$, обозначать через $N\left(\epsilon \right)$. (Вообще говоря, это $N$ определяется не единственным образом — например, если $N$ подходит, то $N+1$ тоже подходит — но мы выберем какое-нибудь из подходящих значений $N$ и обозначим его через $N\left(\epsilon \right)$.) На рис. 4.12 приведена иллюстрация: для $\epsilon ={\epsilon }_1$ мы могли выбрать $N=3$, то есть положить $N\left({\epsilon }_1\right)=3$. Но для $\epsilon ={\epsilon }_2$ (см. нижний рисунок) это значение $N$ уже «не работает» (например, $a_4$ выходит за границы нового коридора), однако увеличив $N$ до $8$ (то есть положив $N\left({\epsilon }_2\right)=8$) мы снова добились соблюдения условия «все члены, начиная с $n=N+1$, находятся на расстоянии меньше $\epsilon$ от $A$».

Мы могли бы ещё сильнее уменьшить $\epsilon$ — и снова должно было найтись своё $N$, которое бы обеспечивало выполнение этого условия. Это и значит, что последовательность стремится к $A$.

---

Рис. 4.12: Зависимость $N$ от $\epsilon$ в определении предела.

4.3Пример доказательств утверждений о пределах

4.3.1Существование предела

Давайте рассмотрим ещё один пример.

4.3.2Предел не равен какому-то числу

Доказательство. Нам нужно доказать, что неверно, что предел равен 1. Иными словами, опровергнуть следующее утверждение:

$$\forall \epsilon >0\exists N\in N\forall n>N:\left|\frac{1}{n}-1\right|<\epsilon .$$

Опровергнуть утверждение — это всё равно, что доказать его отрицание. Запишем отрицание, пользуясь разделом 2.3.3 лекции 2:

$$\begin{array}{}\exists \epsilon >0\forall N\in N\exists n>N:\left|\frac{1}{n}-1\right|\ge \epsilon .& \text{(4.10)}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\exists \epsilon >0\forall N\in N& \exists n>N:\left|\frac{1}{n}-1\right|\ge \epsilon .\\ \text{(4.10)}\end{array}$$

Иными словами, нам нужно доказать, что существует такой $\epsilon >0$, что какой бы номер $N$ мы ни выбрали, найдётся номер $n$, больший, чем $N$, для которого элемент с номером $n$ не является $\epsilon$-близким к $1$. Попросту нам нужно доказать, что для какого-то конкретного $\epsilon$, время от времени — сколь угодно далеко в будущем — элементы последовательности будут на расстоянии как минимум $\epsilon$ от $1$. В этом случае, конечно, ни о каком стремлении к $1$ речи уже идти не будет.

Давайте посмотрим на картинку (рис. 4.13).

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

nmax = 20
n = np.arange(1, nmax + 1)
n_full = np.linspace(0, nmax + 1 - 0.5)
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), color="#cf356b")
plt.plot(n, 1 / n, 'o', markersize=4, label='$y=a_n$')
plt.xticks(range(0, nmax + 1))
plt.legend()


ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-0.25, ymax=2.27, 
               xlabel="n", ylabel="y") 

Рис. 4.13: График $\left\{1/n\right\}$.

Какое значение $\epsilon$ подойдёт? Например, подойдёт ли $\epsilon =1,5$? Похоже, что нет — на самом деле, все элементы последовательности находятся на расстоянии не больше $1,5$ от числа $1$, см. рис. 4.14.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

nmax = 20
n = np.arange(1, nmax + 1)
eps = 1.5
n_full = np.linspace(0, nmax + 1 - 0.5)
plt.fill_between(n_full, np.ones_like(n_full) * (1 + eps),
    np.ones_like(n_full) * (1 - eps), color='#ee5d306b')
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), color="#cf356b")
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full) * (1 + eps), color="#ee5e30")
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full) * (1 - eps), color="#ee5e30")
plt.plot(n, 1 / n, 'o', markersize=4, label='$y=a_n$')
plt.xticks(range(0, nmax + 1))
plt.legend()


ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-2.47, ymax=5.47, 
               xlabel="n", ylabel="y") 

Рис. 4.14: График $\left\{1/n\right\}$ и коридор вокруг $1$ с «размахом» $\epsilon =1,5$.

Однако, уже значение $\epsilon =1/3$ подходит. Действительно, лишь одна точка лежит внутри коридора с «размахом» $1/3$ вокруг прямой $y=1$, см. рис. 4.15.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

nmax = 20
n = np.arange(1, nmax + 1)
eps = 1/3
n_full = np.linspace(0, nmax + 1 - 0.5)
plt.fill_between(n_full, np.ones_like(n_full) * (1 + eps),
    np.ones_like(n_full) * (1 - eps), color='#ee5d306b')
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), color="#ee5e30")
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full), color="#cf356b")
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full) * (1 + eps), color="#ee5e30")
plt.plot(n_full, np.ones_like(n_full) * (1 - eps), color="#ee5e30")
plt.plot(n, 1 / n, 'o', markersize=4, label='$y=a_n$')
plt.xticks(range(0, nmax + 1))
plt.legend()


ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.9, xmax=nmax + 1, ymin=-2.47, ymax=5.47, 
               xlabel="n", ylabel="y") 

Рис. 4.15: График $\left\{1/n\right\}$ и коридор вокруг $1$ с «размахом» $\epsilon =1/3$.

Итак, пусть мы взяли $\epsilon =1/3$. Теперь в соответствии с формулой (4.10) для всякого натурального $N$ нужно научиться строить такое $n$, что $n>N$ и одновременно

$$\begin{array}{}\left|\frac{1}{n}-1\right|\ge 1/3.& \text{(4.11)}\end{array}$$

По картинке видно, что нам подойдёт любое $n$, начиная с $n=2$. Поскольку минимальное значение для $N$ равно 1, то любое $n$, удовлетворяющее условию $n>N$, удовлетворяет и условию $n\ge 2$, и значит, нам подходит. Осталось построить натуральное число $n$, которое гарантированно больше данного натурального числа $N$. Как это сделать? Можно просто прибавить единицу к $N$, и всё!

Итак, положим: $n:=N+1$. Осталось доказать, что выполняется неравенство (4.11). Действительно:

$$\begin{array}{}\left|\frac{1}{N+1}-1\right|& =1-\frac{1}{N+1}\ge 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ge \frac{1}{3}=\epsilon .& \text{(4.12)}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\left|\frac{1}{N+1}-1\right|& =1-\frac{1}{N+1}\ge & & \ge 1-\frac{1}{2}=\\ & =\frac{1}{2}\ge \frac{1}{3}=\epsilon .\\ \text{(4.12)}\end{array}$$

Первое равенство следует из того факта, что $\frac{1}{N+1}$ меньше единицы для натуральных $N$ и модуль может быть раскрыт только так, первое неравенство следует из того факта, что $\frac{1}{N+1}$ ещё и меньше $1/2$, т.к. $N$ натуральное и не меньше $1$.∎

4.3.3Несуществование предела

Доказательство. Нас пожидает некоторая трудность в самом начале. Определение предела требует, чтобы мы назвали конкретное число $A$, которое является пределом. Здесь никакого $A$ нет.

Формально, утверждение «последовательность $\left\{a_n\right\}$ имеет предел» записывается так: найдётся какое-то число $A$, которое является пределом $\left\{a_n\right\}$. В кванторах:

$$\exists A\in R\forall \epsilon >0\exists N\in N\forall n>N:|a_n-A|<\epsilon .$$

Ух! Четыре квантора.

Давайте напишем отрицание к этому утверждению (это как раз то, что нам нужно доказать):

$$\forall A\in R\exists \epsilon >0\forall N\in N\exists n>N:|a_n-A|\ge \epsilon .$$

Иными словами, для всякого вещественного числа $A$, справедливо утверждение: $A$ не является пределом нашей последовательности.

Теперь будем его доказывать. Тут нужно разобрать два случая: $A\ne 1$ и $A=1$.

Случай $A\ne 1$. Как обычно, начнём с картинки, см. рис. 4.16. Мы отметили точку $A$ между $0$ и $-1$, но на самом деле она может быть какой угодно, кроме $1$.

Рис. 4.16: График последовательности $\left\{\right(-1{)}^n\}$.

Теперь нужно выбрать такое $\epsilon >0$, что последовательность будет время от времени выскакивать из $\epsilon$-коридора сколько угодно далеко в будущем. Как найти $\epsilon$? Поскольку мы знаем, что $A\ne 1$, и также знаем, что сколь угодно далеко в будущем последовательность посещает точку $1$, логично выбрать такой размах коридора, при котором он не будет содержать точки с $y=1$. Это легко сделать: достаточно в качестве $\epsilon$ взять число, которое было бы меньше, чем расстояние от $A$ до $1$. В этом случае, если элемент последовательности равен $1$, его расстояние до $A$ будет гарантированно больше, чем $\epsilon$.

Положим

$$\epsilon =\frac{|A-1|}{2}.$$

Тут важно, что $A\ne 1$ и следовательно $\epsilon >0$.

Тогда одна из границ коридора будет проходить в точности посередине между $A$ и $1$, см. рис. 4.17. Пусть теперь дано произвольное натуральное $N$. Из рисунка видно, что каким бы ни было это $N$, найдутся элементы последовательности, лежащие вне коридора между $A+\epsilon$ и $A-\epsilon$ после $n=N$ (заштрихованная область на рисунке). Собственно, мы именно так и выбирали $\epsilon$: для любого чётного $n$, $a_n=1$ и следовательно соответстующая точка лежит вне указанного коридора. Для любого $N$ найдётся чётное натуральное число $n>N$ — оно-то нам и нужно.

Рис. 4.17: График последовательности $\left\{\right(-1{)}^n\}$ и коридор для выбранного значения $\epsilon$.

Чтобы сделать рассуждение совсем железобетонным, нужно привести явный способ построения $n$ по $N$. Тут можно действовать разными методами — например, можно выбирать первое чётное, большее $N$, но можно проще: положить

$$n=2N.$$

Действительно, $2N>N$ для всех натуральных $N$ и число $2N$ гарантированно чётное.

Наконец, нужно доказать, что для выбранного таким образом $n$, будет выполняться неравенство $|a_n-A|\ge \epsilon$. Поскольку $n$ чётно, $a_n=1$. Подставляя значение $\epsilon$, имеем:

$$|1-A|\ge \frac{|A-1|}{2}.$$

Поскольку $|1-A|=|A-1|$ и это положительное число, это неравенство заведомо верно.

Таким образом, для любого $A\ne 1$ мы предъявили такое значение $\epsilon =\frac{|A-1|}{2}>0$, что для всех натуральных $N$ мы построили такое $n=2N$, что $n>N$ и $|a_n-A|\ge \epsilon$. Значит, $A$ не является пределом нашей последовательности.

Случай $A=1$. Он доказывается полностью аналогично, и даже проще, потому что теперь значение $A$ известно. Хорошее упражнение — написать это доказательство явно и аккуратно, подобно тому, как выше разборан случай $A\ne 1$. Пожалуйста, сделайте это, прежде, чем идти дальше!∎

4.4Единственность предела

К счастью, так не бывает. Давайте это докажем.

Доказательство. Будем доказывать от противного. Пусть $A_1$ и $A_2$ оба являются пределами последовательности $\left\{a_n\right\}$, но при этом $A_1\ne A_2$. Запишем формально утверждения про пределы:

$$\begin{array}{}\forall & {\epsilon }_1>0\exists N_1=N_1\left({\epsilon }_1\right)\forall n>N_1:|a_n-A_1|<{\epsilon }_1;& \forall & {\epsilon }_2>0\exists N_2=N_2\left({\epsilon }_2\right)\forall n>N_2:|a_n-A_2|<{\epsilon }_2.& \text{(4.14)}& \text{(4.15)}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\forall & {\epsilon }_1>0\exists N_1=N_1\left({\epsilon }_1\right)& & \forall n>N_1:|a_n-A_1|<{\epsilon }_1;\\ \forall & {\epsilon }_2>0\exists N_2=N_2\left({\epsilon }_2\right)& & \forall n>N_2:|a_n-A_2|<{\epsilon }_2.\\ \text{(4.14)}& \text{(4.15)}\end{array}$$

Мы обсуждали (см. раздел 3.2.3), что когда есть несколько утверждений с кванторами, в которых участвуют одни и те же буквы, никакой связи между этими буквами за пределами соответствующих утверждений нет. Так что чтобы не путаться, мы добавили немножко индексов — например, ${\epsilon }_1$ для утверждения про предел $A_1$ и ${\epsilon }_2$ для утверждения про предел $A_2$. Мы также ввели очень полезное обозначение $N_1\left({\epsilon }_1\right)$ и $N_2\left({\epsilon }_2\right)$ — таким образом мы сразу понимаем, $N$ из какого определения взято и для какого $\epsilon$ оно найдено.

Впрочем, давайте вернёмся с формального уровня на интуитивный. У нас есть два разных числа, $A_1$ и $A_2$, и два утверждения: одно говорит, что весь хвост последовательности, начиная с какого-то элемента, будет близок к $A_1$, а другое утверждение говорит, что хвост той же самый последовательности (начинающийся, впрочем, с какого-нибудь другого элемента) целиком близок к $A_2$. Могут ли эти два утверждения друг другу не противоречить? Зависит от того, что считать «близкими точками». Но это как раз регулируются нашими значениями ${\epsilon }_1$ и ${\epsilon }_2$. И они сейчас находятся в нашей власти — мы можем их выбирать какими хотим!

Действительно, до сих пор когда мы доказывали, что предел равен какому-то числу, мы воспринимали $\epsilon$ как нечто данное, что от нас не зависит. Потому что нам нужно было доказать утверждение, взятое из определения предела, а оно начинается квантором «для всякого $\epsilon >0$». В этот же раз мы находимся в обратной ситуации. Нам дано (по предположению), что предел последовательности равен $A_1$. Значит, нам сказано, что для всякого ${\epsilon }_1>0$ найдётся такое $N_1=N_1\left({\epsilon }_1\right)$, что какое-то там неравенство выполняется. Если мы хотим найти $N_1$ для ${\epsilon }_1=1/10$, мы можем это сделать. И для ${\epsilon }_1=1/100$. И для любого другого положительного ${\epsilon }_1$ можем найти. Аналогично и со вторым утверждением.

Как выбрать ${\epsilon }_1$ и ${\epsilon }_2$, чтобы имеющиеся у нас утверждения пришли к явному противоречию? Давайте посмотрим на картинку, рис. 4.18.

Рис. 4.18: Противоречие в доказательстве теоремы 1.

Известно, что, начиная с некоторого номера $n=N_1$, все элементы последовательности лежат в ${\epsilon }_1$-коридоре вокруг точки $A_1$. В то же время, начиная с некоторого $n=N_2$, все элементы последовательности лежат в ${\epsilon }_2$-коридоре вокруг точки $A_2$. Если выбрать эти коридоры непересекающимися, будет явное противоречие — точки не смогут жить в обоих одновременно!

Какими выбрать ${\epsilon }_1$ и ${\epsilon }_2$, чтобы коридоры не пересекались? Это легко: давайте разделим расстояние между $A_1$ и $A_2$ на три. Тогда верхняя граница нижнего (на картинке) коридора вокруг $A_2$ будет проходить по нижней трети отрезка $[A_2,A_1]$, а нижняя граница верхнего коридора — по верхней трети этого же отрезка. Конечно, пересечения не будет, и мы победим.

Давайте сделаем железобетонное рассуждение. Итак, пусть

$${\epsilon }_1={\epsilon }_2=\frac{|A_1-A_2|}{3}.$$

Здесь мы воспользовались предположением, что $A_1\ne A_2$, и значит наши ${\epsilon }_1$ и ${\epsilon }_2$ положительны.

Пусть также

$$\begin{array}{}{N}_1& :=N_1\left({\epsilon }_1\right)=N_1\left(\frac{|A_1-A_2|}{3}\right),N_2:=N_2\left({\epsilon }_1\right)=N_2\left(\frac{|A_1-A_2|}{3}\right).& \text{(4.16)}\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{N}_1& :=N_1\left({\epsilon }_1\right)=& & =N_1\left(\frac{|A_1-A_2|}{3}\right),\\ N_2& :=N_2\left({\epsilon }_1\right)=\\ & =N_2\left(\frac{|A_1-A_2|}{3}\right).\\ \text{(4.16)}\end{array}$$

Теперь нужно найти элемент (достаточно будет одного), который приведёт нас к противоречию. Его номер должен одновременно удовлетворять условию $n>N_1$ (потому что утверждение про предел $A_1$ (см. (4.14)) даёт нетривиальную оценку именно для таких $n$, а про меньшие $n$ оно ничего не утверждает) и $n>N_2$ (аналогично с утверждением про $A_2$). Как найти такое $n$? Очень просто: можно взять максимум из $N_1$ и $N_2$ и прибавить 1. Положим:

$$n=max(N_1,N_2)+1.$$

Тогда $n>N_1$ и согласно (4.14) в этом случае обязательно

$$|a_n-A_1|<{\epsilon }_1=\frac{|A_1-A_2|}{3}.$$

Одновременно $n>N_2$ и согласно (4.15) в этом случае обязательно

$$|a_n-A_2|<{\epsilon }_2=\frac{|A_1-A_2|}{3}.$$

Чтобы не возиться с раскрытием модулей и рассмотрением разных случаев, применим известное неравенство треугольника: расстояние от $A_1$ до $A_2$ не превосходит сумму расстояний от $A_1$ до $a_n$ и от $a_n$ до $A_2$. Имеем:

$$\begin{array}{}|A_1-A_2|\le |A_1-a_n|+|a_n-A_2|<\frac{|A_1-A_2|}{3}+\frac{|A_1-A_2|}{3}=\frac{2}{3}|A_1-A_2|.& \text{(4.17)}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}|A_1-A_2|\le & \le |A_1-a_n|+|a_n-A_2|<\\ <\frac{|A_1-A_2|}{3}+\frac{|A_1-A_2|}{3}=\\ =\frac{2}{3}|A_1-A_2|.\\ \text{(4.17)}\end{array}$$

Но $|A_1-A_2|$ — положительное число! Положительные числа уменьшаются, если их умножить на $2/3$, а не увеличиваются, как следует из нашего неравенства. Противоречие! Теорема доказана.∎

4.5Заключение