5Свойства пределов

5.1Пределы и ограниченность

5.1.1Сходящаяся последовательность ограничена

Теорема 1. Пусть последовательность

{a_{n}}

сходится (то есть имеет предел). Тогда она ограничена.

Доказательство. Обозначим этот предел за

A

. Сформулируем все утверждения в кванторах.

У нас есть. ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = A$ , в кванторах записывается так:

\begin{matrix} \forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : | a_{n} - A | < ε . \\ (5.1) \end{matrix}

\begin{matrix} \forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : | a_{n} - A | < ε . \\ (5.1) \end{matrix}

Мы хотим получить. Последовательность ${a_{n}}$ ограничена, то есть

\begin{matrix} \exists C \forall n \in N : | a_{n} | \leq C . \\ (5.2) \end{matrix}

Итак, мы хотим из (5.1) прийти к (5.2).

Начнём как обычно с картинки.

$Нарисован график последовательности, на вертикальной оси отмечена точка $A>0$, нарисован $\eps$-коридор вокруг точки $A$, отмечена прямая $x=N$, правее этой прямой точки последовательности лежат внутри коридора, левее могут лежать как внутри, так и вне.$

Рис. 5.1: Ограниченность последовательности, имеющей предел.

Хвост последовательности. На картинке видно, что кусок последовательности, начинающийся с номера $n = N (ε) + 1$ («хвост»), явно ограниченный: все элементы живут в коридоре вокруг числа $A$ и не могут от него далеко уходить. Из рисунка получается, что все эти элементы ограничены по модулю числом $A + ε$ (верхняя граница коридора), но это потому, что мы его так нарисовали — если бы $A$ было меньше нуля, картинка оказалась симметричной (относительно горизонтальной оси) и ограничение проходило бы по нижней границе коридора. Чтобы не возиться с разбором разных случаев, мы будем пользоваться свойствами модулей. Однако, прежде, чем мы перейдём к аккуратному построению, нужно решить важный вопрос. Дело в том, что у нас сейчас нет никакого $ε$ . Нам сказано (в (5.1)), что $N$ найдётся для любого $ε > 0$ , то есть $ε$ мы можем задавать сами. Но как?

На самом деле, здесь можно выбрать любое значение $ε > 0$ . Например, положим $ε = 1$ . Пусть $N = N (1)$ — теперь это какое-то зафиксированное число. Тогда для всех $n > N$ ,

| a_{n} - A | < 1.

Итак, мы имеем оценку для

| a_{n} - A |

для хвоста последовательности. А хотим, как следует из (5.2), оценку для

| a_{n} |

. Как её получить? Воспользуемся неравенством треугольника!

Величина $| a_{n} |$ — это расстояние от $a_{n}$ до нуля. Это расстояние не больше, чем сумма расстояний от $a_{n}$ до $A$ и от $A$ до $0$ :

\begin{matrix} | a_{n} | = | a_{n} - 0 | & \leq | a_{n} - A | + | A - 0 | = | a_{n} - A | + | A | . \end{matrix}

\begin{matrix} | a_{n} | = | a_{n} - 0 | & \leq | a_{n} - A | + | A - 0 | = = | a_{n} - A | + | A | . \end{matrix}

Но мы знаем, что для

n > N

| a_{n} - A | < 1

. Следовательно, для тех же

n

\begin{matrix} | a_{n} | < | A | + 1. \\ (5.3) \end{matrix}

Итак, для хвоста последовательности мы получили искомую оценку. Однако, это ещё не конец доказательства. Вдруг хвост ограниченный, а «голова» (элементы до

N

включительно) нет?

Начало последовательности. На самом деле, этого не может быть. Дело в том, что элементов от $a_{1}$ до $a_{N}$ всего конечное число (их ровно $N$ штук). А любое конечное множество обязательно ограниченно, потому что в нём есть максимальный элемент — такой элемент, который не меньше всех остальных. (Аккуратное доказательство этого утверждения — хорошее упражнение. Подсказка: можно сделать индукцию по числу элементов и воспользоваться тем фактом, что среди двух чисел всегда одно не меньше другого.)

Сведём всё воедино. Итак, хвост последовательности можно ограничить числом $| A | + 1$ , а начало — максимальным из модулей чисел $a_{1}$ , $a_{2}$ , …, $a_{N}$ . Положим:

C := max {| a_{1} |, | a_{2} |, \dots, | a_{N} |, | A | + 1}

По построению,

C

искомое. Действительно, для всех натуральных

n

, либо

n \leq N

, и тогда

| a_{n} | \leq C

по определению максимума, либо

n > N

, и тогда

| a_{n} | < | A | + 1 \leq C

по (5.3).∎

5.1.2Бесконечные пределы

Итак, мы выяснили, что все сходящиеся последовательности ограничены. Однако, оказывается полезным выделить среди неограниченных последовательностей такие, чьё поведение похоже на поведение последовательностей, которые куда-то стремятся — только не к какому-то числу, а «к бесконечности». Аккуратный смысл этого выражения даётся следующими определениями.

Определение 1. Последовательность

{a_{n}}

стремится к бесконечности, если для всякого числа

C \in R

найдётся такое натуральное

N = N (C)

, что для всех

n > N

выполняется неравенство

| a_{n} | > C

. В кванторах:

\forall C \in R \exists N = N (C) \forall n > N : | a_{n} | > C .

Пишут:

lim n \to \infty a_{n} = \infty

или

a_{n} \to \infty при n \to \infty .

Нарисован график последовательности, на вертикальной оси
отмечены точки $C$ и $-C$, нарисован $C$-коридор вокруг нуля,
отмечена прямая $x=N$, правее этой прямой точки
последовательности лежат вне коридора, левее могут лежать как
внутри, так и вне.

Рис. 5.2: Последовательность стремится к бесконечности.

Определение 2. Последовательность

{a_{n}}

стремится к плюс бесконечности, если для всякого числа

C \in R

найдётся такое натуральное

N = N (C)

, что для всех

n > N

выполняется неравенство

a_{n} > C

. В кванторах:

\forall C \in R \exists N = N (C) \forall n > N : a_{n} > C .

Пишут:

lim n \to \infty a_{n} = + \infty

или

a_{n} \to + \infty при n \to \infty .

Определение 3. Последовательность

{a_{n}}

стремится к минус бесконечности, если для всякого числа

C \in R

найдётся такое натуральное

N = N (C)

, что для всех

n > N

выполняется неравенство

a_{n} < C

. В кванторах:

\forall C \in R \exists N = N (C) \forall n > N : a_{n} < C .

Пишут:

lim n \to \infty a_{n} = - \infty

или

a_{n} \to - \infty при n \to \infty .

Упражнение 1. Докажите следующие утверждения, используя приведенные выше определения.

Последовательность ${a_{n}}$ , $a_{n} = n$ , стремится к бесконечности, а также к плюс бесконечности.
Последовательность ${(- 1)^{n} n}$ стремится к бесконечности, но ни к плюс бесконечности, ни к минус бесконечности не стремится.
Последовательность ${n + (- 1)^{n} n}$ не стремится ни к какой бесконечности, хоть и является неограниченной.

Замечание 1. В некоторых источниках — например, в учебнике Стюарта — используются немного другие обозначения: то, что мы называем просто бесконечностью, без знака, там обозначается через

\pm \infty

, а то, что мы называем плюс бесконечностью, там обозначается просто как

\infty

. Мы будем придерживаться более привычными для русскоязычного читателя обозначениями.

Замечание 2. Нужно понимать, что в формуле

lim n \to \infty a_{n} = \infty,

знак

\infty

не является вещественным числом, то есть эту формулу не следует воспринимать как арифметическое равенство. Это условное обозначение для утверждения, точный смысл которого сформулирован в опредении 1 выше. Несмотря на то, что мы пишем, что предел чему-то равен, мы по-прежнему будем считать, что он не существует (поскольку последовательность

{a_{n}}

не удовлетворяет определению предела). Про последовательность

{a_{n}}

мы будем говорить, что она расходится — но расходится не абы как, а «к бесконечности».

5.2Арифметика пределов

Пусть есть две последовательности,

{a_{n}}

{b_{n}}

. Над ними можно проводить арифметические операции: складывать, вычитать, умножать, делить. Операции над последовательностями проводятся поэлементно. Например, пусть последовательность

{c_{n}}

является суммой последовательностей

{a_{n}}

{b_{n}}

. Можно записать:

{c_{n}} = {a_{n}} + {b_{n}},

что будет означать

\forall n \in N : c_{n} = a_{n} + b_{n} .

Серия утверждений, которые мы докажем в этом разделе, говорит о том, как операция перехода к пределу взаимодействует с арифметическими операциями.

5.2.1Предел суммы

Теорема 2. Пусть даны две последовательности,

{a_{n}}

{b_{n}}

и существуют пределы

\begin{matrix} lim n \to \infty a_{n} & = A, lim n \to \infty b_{n} & = B . \\ (5.4) (5.5) \end{matrix}

Тогда предел последовательности

{a_{n} + b_{n}}

тоже существует и равен

A + B

lim n \to \infty (a_{n} + b_{n}) = A + B .

Попросту говоря, «предел суммы равен сумме пределов».

Заметим, что $A$ и $B$ здесь — обязательно обычные вещественные числа, поскольку требуется, чтобы пределы существовали (см. замечание 2).

Доказательство. Перепишем формально, что нам дано, и что требуется доказать.

Нам дано.

\begin{matrix} \forall ε_{1} > 0 & \exists N_{1} = N_{1} (ε_{1}) \forall n > N_{1} : | a_{n} - A | < ε_{1} . \forall ε_{2} > 0 & \exists N_{2} = N_{2} (ε_{2}) \forall n > N_{2} : | b_{n} - B | < ε_{2} . \\ (5.6) (5.7) \end{matrix}

\begin{matrix} \forall ε_{1} > 0 & \exists N_{1} = N_{1} (ε_{1}) \forall n > N_{1} : | a_{n} - A | < ε_{1} . \forall ε_{2} > 0 & \exists N_{2} = N_{2} (ε_{2}) \forall n > N_{2} : | b_{n} - B | < ε_{2} . \\ (5.6) (5.7) \end{matrix}

Мы хотим доказать.

\begin{matrix} \forall ε > 0 & \exists N = N (ε) \forall n > N : | (a_{n} + b_{n}) - (A + B) | < ε . \\ (5.8) \end{matrix}

\begin{matrix} \forall ε > 0 & \exists N = N (ε) \forall n > N : | (a_{n} + b_{n}) - (A + B) | < ε . \\ (5.8) \end{matrix}

Утверждения (5.6) и (5.7) можно понимать так: мы можем добиться того, чтобы

a_{n}

был близок к

A

, а

b_{n}

был близок к

B

, накладывая подходящие условия на

n

. Утверждение (5.8), которое мы хотим доказать, звучит так: мы хотим научиться накладывать такие условия на

n

, чтобы сделать

(a_{n} + b_{n})

близким к

(A + B)

. Выглядит логично: если

a_{n}

близко к

A

, а

b_{n}

близко к

B

, то логично ожидать, что

(a_{n} + b_{n})

окажется близко к

(A + B)

. Осталось доказать!

Начнём с преобразования левой части неравенства в конце (5.8):

\begin{matrix} | (a_{n} + b_{n}) - (A + B) | = | (a_{n} - A) + (b_{n} - B) | . \end{matrix}

\begin{matrix} | (a_{n} + b_{n}) - (A + B) | = = & | (a_{n} - A) + (b_{n} - B) | . \end{matrix}

Это тождественное преобразование (раскрыли скобки и перегруппировали слагаемые), но оно позволяет выделить в формуле те разности, которые мы умеем оценивать:

(a_{n} - A)

(b_{n} - B)

. Вернее, мы умеем оценивать их модули, поэтому нам понадобится одно из свойств модулей: модуль суммы не превосходит суммы модулей:

\begin{matrix} | (a_{n} - A) + (b_{n} - B) | \leq | a_{n} - A | + | b_{n} - B | . \\ (5.9) \end{matrix}

\begin{matrix} | (a_{n} - A) + (b_{n} - B) | \leq \leq & | a_{n} - A | + | b_{n} - B | . \\ (5.9) \end{matrix}

Теперь заметим, что первое слагаемое мы можем сделать меньшим, чем

ε_{1}

, а второе — меньшим, чем

ε_{2}

. Но как выбрать

ε_{1}

ε_{2}

? Мы хотим в конечном итоге прийти к неравенству, в правой части которого будет

ε

. Значит, можно выбрать

ε_{1}

ε_{2}

так, чтобы их сумма равнялась

ε

. Положим:

ε_{1} = \frac{ε}{2}, ε_{2} = \frac{ε}{2} .

Теперь мы можем подставить эти

ε_{1}

ε_{2}

в утверждения (5.6) и (5.7). Каждое из них выдаст нам в ответ своё

N

(вернее,

N_{1}

N_{2}

) — номера членов, после которых выполняется соответствующая оценка для

| a_{n} - A |

| b_{n} - B |

. Мы хотим, чтобы они выполнялись обе. Как обычно, это означает, что из получившихся значений нужно выбрать максимальное.

Итак, мы готовы сформулировать железобетонное доказательство. Для любого $ε > 0$ положим $ε_{1} = ε / 2$ и $ε_{2} = ε / 2$ . Из (5.6) и (5.7) получим такие $N_{1} = N_{1} (ε_{1}) = N_{1} (ε / 2)$ и $N_{2} = N_{2} (ε_{2}) = N_{2} (ε / 2)$ , что для всех $n > N_{1}$

\begin{matrix} | a_{n} - A | < ε_{1} = \frac{ε}{2}, \\ (5.10) \end{matrix}

и для всех

n > N_{2}

\begin{matrix} | b_{n} - B | < ε_{2} = \frac{ε}{2} . \\ (5.11) \end{matrix}

Положим теперь:

N (ε) := max (N_{1} (\frac{ε}{2}), N_{2} (\frac{ε}{2})) .

Тогда для всех

n > N (ε)

, будет выполнятья

n > N_{1}

n > N_{2}

, и значит будут выполняться обе оценки (5.10) и (5.11).

Значит, согласно (5.9), для всех таких $n$ , будет также выполняться оценка

\begin{matrix} | (a_{n} + b_{n}) - (A + B) | \leq | A_{n} - A | + | B_{n} - B | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε . \end{matrix}

\begin{matrix} | (a_{n} + b_{n}) - (A + B) | \leq \leq & | A_{n} - A | + | B_{n} - B | < < & \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε . \end{matrix}

Таким образом, (5.8) доказано: мы научились по каждому положительному

ε

строить такое

N

, что для всех

n > N

выполнено неравенство

| (a_{n} + b_{n}) - (A + B) | < ε

Ура!∎

Замечание 3. Это типичный пример доказательства теоремы, в которой нам даны какие-то утверждения о пределах и нужно доказать какие-то другие утверждения про пределы. Важно проследить, как это доказательство устроено, какие числа мы воспринимаем как данные, а какие строим сами.

Утверждение (5.8) мы хотим доказать. В нём сказано, что для всякого $ε > 0$ должно найтись такое $N$ , что (и дальше сказано, что $N$ «хорошее», обладает нужным нам свойством). Это означает, что для доказательства этого утверждения нам нужно научиться по каждому $ε$ научиться строить $N$ (как правило, в таких задачах доказать, что $N$ существует, проще всего, предъявив явный алгоритм, как его строить) и доказывать, что оно «хорошее».

Далее, утверждение, например, (5.6) нам дано. В нём сказано, что для всякого $ε_{1} > 0$ найдётся такое $N_{1}$ , что (и дальше сказано, что $N_{1}$ «хорошее»). Это означает, что мы можем по своему выбору выбирать $ε_{1}$ , и это утверждение в ответ выдаст нам $N_{1}$ , которое гарантированно удовлетворяет указанному далее свойству. В дальнейшем мы можем использовать это $N_{1}$ в нашем доказательстве — в данном случае мы его использовали (вместе с $N_{2}$ , полученным из (5.7)), чтобы построить наше $N$ , существование которого нужно было доказать. В доказательстве того, что $N$ действительно то, которое нам нужно, мы использовали соответствующие «хорошие» свойства $N_{1}$ и $N_{2}$ , гарантированные нам утверждениями (5.6) и (5.7). Чтобы связать всю конструкцию воедино, нам нужно было выбрать $ε_{1}$ и $ε_{2}$ в зависимости от нашего $ε$ . Мы их выбрали ровно такими, чтобы получившаяся оценка была такой, какая нам нужна.

Всё вместе это выглядит как построение своего рода механизма, который принимает какой-то материал на вход и на выход выдаёт в точности то, что требуется, используя по ходу своей работы промежуточные механизмы, которые нам также даны, см. рис. 5.3 и 5.4.

Схема доказательства теоремы о пределе суммы: построение N по
ε. Сначала ε делится на две половинки, каждая из половинок подаётся
на вход своему «механизму». Механизмы возвращают N_1 и
N_2, из них берётся максимум и так получается N. Первый механизм
гарантирует, что для всех n>N_1 выполняется неравенство
|a_n-A|<ε/2. Второй механизм гарантирует, что для всех n>N_2
выполняется неравенство |b_n-B|<ε/2.

Рис. 5.3: Схема доказательства теоремы о пределе суммы: построение

N

по

ε

Рис. 5.4: Схема доказательства теоремы о пределе суммы: доказательство, что построенное

N

удовлетворяет условию в определении предела.

Построением таких механизмов мы будем заниматься на протяжении всего курса.

5.2.2Упрощающая лемма

Давайте посмотрим ещё раз на доказательство теоремы 2. Нам пришлось довольно хитрым образом выбирать

ε_{1}

ε_{2}

по

ε

, чтобы в итоге получилось нужное неравенство. Этот момент выглядит немножко неестественным. Что было бы, если бы мы просто положили

ε_{1} = ε

ε_{2} = ε

? Тогда в конечном итоге было бы доказано такое утверждение:

\forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : | a_{n} - A | < 2 ε .

Это утверждение не является определением предела. Тем не менее, понятно, что оно эквивалентно определению предела: выбирать произвольное положительное значение

ε

и выбирать произвольное положительное значение

2 ε

— это одно и то же!

Следующая лемма, которой мы будем в дальнейшем пользоваться, формализует это соображение.

Лемма 1. Пусть нашлась такая константа

C

, что для всякого

ε_{1} > 0

найдётся такое

N_{1} = N_{1} (ε_{1})

что для всякого

n > N_{1}

выполняется неравенство

| a_{n} - A | < C ε_{1}

. Тогда

{lim}_{n \to \infty} a_{n} = A

Формально: пусть

\begin{matrix} \exists C \forall ε_{1} > 0 \exists N_{1} = N_{1} (ε_{1}) \forall n > N_{1} : | a_{n} - A | < C ε_{1} . \end{matrix}

\begin{matrix} \exists C \forall ε_{1} > 0 \exists N_{1} = N_{1} (ε_{1}) \forall n > N_{1} : | a_{n} - A | < C ε_{1} . \end{matrix}

тогда

\begin{matrix} lim n \to \infty a_{n} = A . \\ (5.12) \end{matrix}

Иными словами, если при доказательстве утверждения (5.12) получилось доказать «испорченное» определение предела, где в правой части последнего неравенства вместо $ε$ стоит $10 ε$ или $15 ε$ или какое-нибудь $(M + 1)^{2} ε$ — ничего страшного, это всё равно победа. Главное, чтобы константа, стоящая перед $ε$ , не зависела от $n$ .

Доказательство. Во-первых, заметим, что

C

обязательно больше нуля. Действительно, модуль всегда неотрицателен, поэтому неравенство

| a_{n} - A | < C ε_{1}

может выполняться лишь при условии, что в правой части стоит положительное число, а

ε_{1} > 0

, значит

C > 0

Перепишем условие (5.12) формально. Оно выглядит так:

\forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : | a_{n} - A | < ε .

Чтобы по

ε

найти

N

, возьмём

ε_{1} = \frac{ε}{C}

(имеем право так написать, потому что

C > 0

, и значит деление допустимо и не поменяет знак) и положим

N = N_{1} (ε_{1}) = N_{1} (ε / C)

. Тогда для всех

n > N

выполняется неравенство:

| a_{n} - A | < C ε_{1} = C \frac{ε}{C} = ε .

Что и требовалось получить. Лемма доказана.∎

Замечание. В формулировке леммы

C

может быть меньше

1

, хотя в этом случае она становится тривиальной: если у нас есть утверждение, начинающееся как определение предела, а заканчивающееся, например, неравенством

| a_{n} - A | < ε / 2

, то это уже победа: мы просто продолжим цепочку неравенств

| a_{n} - A | < ε / 2 < ε

и получим то, что требовалось в «честном» определении предела. Можно было бы в доказательстве леммы рассмотреть два случая,

C < 1

C > 1

, и для

C < 1

написать более простое рассуждение (просто «ничего не делать», то есть положить

ε_{1} = ε

N = N_{1} (ε)

), но приведённое выше доказательство работает в обоих случаях, так что в этом нет необходимости.

Теперь при доказательстве теорем, аналогичных теореме 2, мы не будем подбирать хитрым образом вспомогательные $ε$ , а вместо этого просто будем считать $ε_{1} = ε_{2} = ε$ и дальше воспользуемся только что доказанной леммой. Начнём с теоремы о пределе произведения.

5.2.3Предел произведения

Теорема 3. Пусть даны две последовательности,

{a_{n}}

{b_{n}}

и существуют пределы

\begin{matrix} lim n \to \infty a_{n} & = A, lim n \to \infty b_{n} & = B . \\ (5.13) (5.14) \end{matrix}

Тогда предел последовательности

{a_{n} b_{n}}

тоже существует и равен

A B

lim n \to \infty a_{n} b_{n} = A B .

Попросту говоря, «предел произведения равен произведению пределов».

Доказательство. Как обычно, запишем, что нам известно, и что нужно доказать.

Нам дано. Равенства (5.13) и (5.14) записываются в виде:

\begin{matrix} \forall ε_{1} > 0 \exists N_{1} = N_{1} (ε_{1}) \forall n > N_{1} : | a_{n} - A | & < ε_{1} . \forall ε_{2} > 0 \exists N_{2} = N_{2} (ε_{2}) \forall n > N_{2} : | b_{n} - B | & < ε_{2} . \\ (5.15) (5.16) \end{matrix}

\begin{matrix} \forall ε_{1} & > 0 \exists N_{1} = N_{1} (ε_{1}) \forall n > N_{1} : | a_{n} - A | < ε_{1} . \forall ε_{2} & > 0 \exists N_{2} = N_{2} (ε_{2}) \forall n > N_{2} : | b_{n} - B | < ε_{2} . \\ (5.15) (5.16) \end{matrix}

Мы хотим доказать. Равенство (5.17):

\begin{matrix} \forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : | a_{n} b_{n} - A B | < ε . \\ (5.17) \end{matrix}

\begin{matrix} \forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : | a_{n} b_{n} - A B | < ε . \\ (5.17) \end{matrix}

Преобразуем левую часть последнего неравенства в (5.17). Для этого воспользуемся картинкой (см. рис. 5.5).

Геометрический смысл произведения — площадь прямоугольника с заданными сторонами. Построим прямоугольник со сторонами $a_{n}$ и $b_{n}$ . Давайте для определенности считать, что $A < a_{n}$ и $B < b_{n}$ (это предположение полезно для иллюстрации, но нас оно не будет ограничивать: простое алгебраическое доказательство нужной нам формулы его не требует). Тогда прямоугольник со сторонами $A$ и $B$ будет меньше первого прямоугольника и его можно разместить внутри, прижав к левому нижнему углу.

Иллюстрация к формуле про разность двух площадей, см. описание
выше в тексте.

Рис. 5.5: Иллюстрация к формуле (5.18).

Выражение $(a_{n} b_{n} - A B)$ — разность площадей двух прямоугольников, которая выглядит как уголок. Можно разбить этот уголок на два прямоугольника, один со сторонами $(a_{n} - A)$ и $B$ , а другой со сторонами $a_{n}$ и $(b_{n} - B)$ . Имеем:

\begin{matrix} | a_{n} b_{n} - A B | = | (a_{n} - A) B + a_{n} (b_{n} - B) | . \\ (5.18) \end{matrix}

\begin{matrix} | a_{n} b_{n} - A B | = = | (a_{n} - A) B + a_{n} (b_{n} - B) | . \\ (5.18) \end{matrix}

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, легко проверить, что это алгебраическое тождество. (Как правило переход слева направо в этом тождестве делается с помощью приёма «добавим и вычтем

a_{n} B

», что выглядит как фокус — нарисовав картинку мы раскрыли секрет этого фокуса.)

Воспользуемся теперь свойствами модулей: модуль суммы не превосходит суммы модулей, модуль произведения равен произведению модулей. Получаем такую оценку:

\begin{matrix} | (a_{n} - A) B + a_{n} (b_{n} - B) | \leq | a_{n} - A | \cdot | B | + | a_{n} | \cdot | b_{n} - B | \\ (5.19) \end{matrix}

\begin{matrix} | (a_{n} - A) B + a_{n} (b_{n} - B) | \leq \leq | a_{n} - A | \cdot | B | + + | a_{n} | \cdot | b_{n} - B | \\ (5.19) \end{matrix}

Заметим, что сомножители

| a_{n} - A |

| b_{n} - B |

мы умеем делать маленькими благодаря известным нам пределам. А именно, положим

ε_{1} = ε_{2} = ε

и пусть

N = max (N_{1} (ε), N_{2} (ε))

. Тогда для всех

n > N

| a_{n} - A | < ε, | b_{n} - B | < ε .

Разберемся теперь с остальными сомножителями (см. рис. 5.6).

Во-первых, $| B |$ . С ним ничего делать не надо: это просто число, которое не зависит от $n$ .

Далее, $| a_{n} |$ . С этой штукой не так просто: она от $n$ зависит. Однако, мы помним, что последовательность, имеющая предел, ограничена. А последовательность ${a_{n}}$ имеет предел по условию. Значит, найдётся такое $C_{1}$ , что для всех $n$ , $| a_{n} | < C_{1}$ .

Рис. 5.6: Иллюстрация к формуле (5.20).

Все сомножители неотрицательны, и значит можно оценить каждый из сомножителей, оценить их произведение, а потом оценить сумму. Имеем:

\begin{matrix} | a_{n} - A | \cdot | B | + | a_{n} | \cdot | b_{n} - B | < | B | ε + C_{1} ε = (| B | + C_{1}) ε . \\ (5.20) \end{matrix}

\begin{matrix} | a_{n} - A | \cdot | B | + + | a_{n} | \cdot | b_{n} - B | < < | B | ε + C_{1} ε = (| B | + C_{1}) ε . \\ (5.20) \end{matrix}

Соединяя (5.18), (5.19) и (5.20) в одну длинную цепочку неравенств, получаем неавенство, верное для всех

n > N

| a_{n} b_{n} - A B | < (| B | + C_{1}) ε .

Положим теперь

C = | B | + C_{1}

и по лемме 1 искомое утверждение доказано.∎

5.3Заключение

Мы продолжаем строить теорию пределов и в этой лекции определили новое понятие — бесконечные пределы, причём аж трёх видов (к счастью, очень похожих друг на друга). Мы также доказали ряд важных общих свойств конечных пределов. Во-первых, сходящаяся (к конечному числу) последовательность ограничена. Во-вторых, предел суммы равен сумме пределов, а предел произведения — произведению пределов (но только если все эти пределы существуют, то есть, опять же, конечны). Наконец, мы доказали очень полезную лемму, которой будем пользоваться в дальнейшем. В следующей лекции мы разберемся с пределом частного — с ним будет всё похитрее. Не переключайтесь!

← Предыдущая глава Следующая глава →

Математический анализ Записки лекций

5Свойства пределов

5.1Пределы и ограниченность

5.1.1Сходящаяся последовательность ограничена

5.1.2Бесконечные пределы

5.2Арифметика пределов

5.2.1Предел суммы

5.2.2Упрощающая лемма

5.2.3Предел произведения

5.3Заключение

Математический анализ
Записки лекций