Доказательство. Мы хотим доказать, что найдётся такое $C$, что для всех $x\in [a,b]$ выполняется неравенство $|f\left(x\right)|<C$. Докажем от противного. Пусть это не так. Тогда для всякого $C$ найдётся такое $x=x\left(C\right)\in [a,b]$, что $|f\left(x\right)|>C$.

Построим последовательность $\left\{x_n\right\}$ следующим образом. Положим $C_n=n$ и пусть $x_n=x\left(C_n\right)=x\left(n\right)$. Тогда для всех $n$ выполняется неравенство $|f\left(x_n\right)|>n$.

Последовательность $\left\{x_n\right\}$ является ограниченной, поскольку для всех $n$ выполняются неравенства

По теореме Больцано — Вейерштрасса, из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, то есть существует такая последовательность натуральных чисел $\left\{n_k\right\}$ и такое число $x_{\infty }$, что $x_{n_k}\to x_{\infty }$. По теореме о предельном переходе в неравенствах, примененной к неравенствам (14.1), имеем:то есть $x_{\infty }$ также лежит на отрезке $[a,b]$. Поскольку значения $f\left(x_{n_k}\right)$ не меньше $n_k$ (по построению последовательности $x_n$), и $n_k$ стремится к бесконечности при $k\to \infty$, значения $f\left(x_{n_k}\right)$ также стремятся к бесконечности при $k\to \infty$.

Функция $f$ определена в точке $x_{\infty }$ (поскольку она определена на всём отрезке $[a,b]$) и непрерывна в этой точке. Значит, её предел при $x\to x_{\infty }$ существует (может быть односторонний, если $x_{\infty }$ совпадает с граничными точками $a$ или $b$) и равен $f\left(x_{\infty }\right)$. Но $x_{n_k}\to x_{\infty }$ и по определению предела по Гейне, это означает, что $f\left(x_{n_k}\right)\to f\left(x_{\infty }\right)$. (Из-за непрерывности функции $f$ в точке $x_{\infty }$ в определении предела по Гейне можно убрать требование о том, чтобы последовательность не посещала точку $x_{\infty }$, см. упражнение 1 из предыдущей лекции.) Но $f\left(x_{n_k}\right)\to \infty$ и значит этот предел не может существовать. Противоречие!∎

Доказательство. Доказательство очень похоже на доказательство теоремы Больцано — Вейерштрасса. Попробуем поймать наш корень в ловушку. Пусть $x_1$ — середина отрезка $[a,b]$, который мы обозначим через $I_1$. Если $f\left(x_1\right)=0$, положим $c=x_1$, и всё доказано. Пусть теперь $f\left(x_1\right)\ne 0$. Тогда знак $f\left(x_1\right)$ не совпадает либо со знаком $f\left(a\right)$, либо со знаком $f\left(b\right)$ (потому что знаки $f\left(a\right)$ и $f\left(b\right)$ разные — если совпадает с одним, значит, не совпадает с другим). Положим $I_2:=[a,x_1]$, если знаки $f\left(a\right)$ и $f\left(x_1\right)$ разные, и $I_2:=[x_1,b]$ в противном случае. Тогда на концах отрезка $I_2$ функция гарантированно принимает значения разных знаков, и с ним можно повторить ту же процедуру: разделить отрезок пополам, обозначить середину за $x_2$, если $f\left(x_2\right)=0$, всё доказано, если нет, выбрать ту из половинок, на концах которой функция принимает значения разных знаков, обозначить её за $I_3$ и т.д.

Если этот процесс никогда не прекратится (то есть ни одна из точек $x_n$ не является корнем), мы получим бесконечную последовательность вложенных отрезков $I_1\supset I_2\supset I_3\supset \dots$, длины которых стремятся к нулю.

Значит, по лемме о вложенных отрезках 1, существует единственная точка $c$, принадлежащая всем отрезкам, и она является пределом последовательностей концов этих отрезков. Пусть $I_k:=[l_k,r_k]$, то есть мы обозначили левый конец через $l_k$, а правый через $r_k$. Тогда

Кроме того, мы знаем, что для всех натуральных $k$ функция принимает разные знаки на концах $I_k$, и следовательно $f\left(l_k\right)f\left(r_k\right)<0$. Сделаем предельный переход в этом неравенстве при $k\to \infty$. Имеем:С другой стороны, согласно определению предела по Гейне и исходя из непрерывности функции $f$,По теореме о пределе произведения отсюда следует, что Таким образом, $f(c{)}^2\le 0$. Но квадрат любого вещественного числа неотрицателен! Значит, единственная альтернатива — $f\left(c\right)=0$. Значит, $c$ — искомый корень.∎