16Нахождение производных

На прошлой лекции и семинаре мы нашли производные нескольких функций, пользуясь определением. Однако, как и в случае пределов, доказательства по определению — довольно трудоёмкое занятие. На этой лекции мы докажем несколько теорем, позволяющих вычислять производные функций, заданных формулами, с помощью достаточно простого алгоритма.

16.1Арифметика производных

16.1.1Производная суммы

Начнём с простого: производной суммы.

Теорема 1. Пусть функции

f

g

дифференцируемы в точке

x_{0}

. Тогда функция

h (x) := f (x) + g (x)

дифференцируема в точке

x_{0}

h^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) + g^{'} (x_{0})

Доказательство. Воспользуемся определением производной:

\begin{matrix} h^{'} (x_{0}) = lim Δ x \to 0 \frac{h (x_{0} + Δ x) - h (x_{0})}{Δ x} = = lim Δ x \to 0 \frac{(f (x_{0} + Δ x) + g (x_{0} + Δ)) - (f (x_{0}) + g (x_{0}))}{Δ x} = \dots \end{matrix}

\begin{matrix} h^{'} (x_{0}) = lim Δ x \to 0 \frac{h (x_{0} + Δ x) - h (x_{0})}{Δ x} = = lim Δ x \to 0 \frac{1}{Δ x} ((f (x_{0} + Δ x) + g (x_{0} + Δ)) - - (f (x_{0}) + g (x_{0}))) = \dots \end{matrix}

Перегруппируем слагаемые в числителе и разобъём дробь на две:

\begin{matrix} \dots = lim Δ x \to 0 (\frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} + \frac{g (x_{0} + Δ x) - g (x_{0})}{Δ x}) = \dots \end{matrix}

\begin{matrix} \dots = lim Δ x \to 0 (\frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} + + \frac{g (x_{0} + Δ x) - g (x_{0})}{Δ x}) = \dots \end{matrix}

По теореме о пределе суммы:

\begin{matrix} \dots = lim Δ x \to 0 \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} + lim Δ x \to 0 \frac{g (x_{0} + Δ x) - g (x_{0})}{Δ x} = = f^{'} (x_{0}) + g^{'} (x_{0}) . \end{matrix}

\begin{matrix} \dots = lim Δ x \to 0 \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} + + lim Δ x \to 0 \frac{g (x_{0} + Δ x) - g (x_{0})}{Δ x} = = f^{'} (x_{0}) + g^{'} (x_{0}) . \end{matrix}

Пределы в левой части равенства существуют, поскольку

f

g

дифференцируемы в точке

x_{0}

, и следовательно теорему о пределе суммы применять можно. Теорема доказана.∎

16.1.2Производная произведения

Тут получится немножко сложнее, но не сильно.

Теорема 2. Пусть функции

f

g

дифференцируемы в точке

x_{0}

. Тогда функция

h (x) := f (x) g (x)

дифференцируема в точке

x_{0}

h^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) g (x_{0}) + f (x_{0}) g^{'} (x_{0}) .

Доказательство. Снова запишем определение производной:

\begin{matrix} h^{'} (x_{0}) = lim Δ x \to 0 \frac{h (x_{0} + Δ x) - h (x_{0})}{Δ x} = = lim Δ x \to 0 \frac{f (x_{0} + Δ x) g (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) g (x_{0})}{Δ x} = \dots \\ (16.1) \end{matrix}

\begin{matrix} h^{'} (x_{0}) = = lim Δ x \to 0 \frac{h (x_{0} + Δ x) - h (x_{0})}{Δ x} = = lim Δ x \to 0 (f (x_{0} + Δ x) g (x_{0} + Δ x) - - f (x_{0}) g (x_{0})) \frac{1}{Δ x} = \dots \\ (16.1) \end{matrix}

Аналогично теореме о пределе произведения, полезно нарисовать картинку 16.1 и представить разность произведений в виде суммы площадей двух прямоугольников.

Нарисовано два прямоугольника, большой с шириной f(x_0+Delta x)
и высотой g(x_0 + Delta x) и поменьше с шириной f(x_0) и высотой
g(x_0), второй вписан в левый нижний угол первого. Уголок между
ними разбит на два прямоугольника: наверху с шириной f(x_0) и
справа с высотой g(x_0 + Delta x)

Рис. 16.1: Разбиваем разность произведений в сумму двух произведений

\begin{matrix} f (x_{0} + Δ x) g (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) g (x_{0}) = = (f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})) g (x_{0} + Δ x) + f (x_{0}) (g (x_{0} + Δ x) - g (x_{0})) . \end{matrix}

\begin{matrix} f (x_{0} + Δ x) g (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) g (x_{0}) = = (f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})) g (x_{0} + Δ x) + + f (x_{0}) (g (x_{0} + Δ x) - g (x_{0})) . \end{matrix}

Подставляя это в (16.1) и разбивая дробь в сумму двух дробей, получаем:

\begin{matrix} \dots = lim Δ x \to 0 (g (x_{0} + Δ x) \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} + f (x_{0}) \frac{g (x_{0} + Δ x) - g (x_{0})}{Δ x}) . \end{matrix}

\begin{matrix} \dots = lim Δ x \to 0 (g (x_{0} + Δ x) \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} + + f (x_{0}) \frac{g (x_{0} + Δ x) - g (x_{0})}{Δ x}) . \end{matrix}

Каждая из двух дробей стремится к соответствующей производной, сомножитель

f (x_{0})

не зависит от

Δ x

и стремится сам к себе,

g (x_{0} + Δ x)

стремится к

g (x_{0})

, поскольку функция

g

непрерывна в точке

x_{0}

, т.к. она дифференцируема в этой точке (см. теорему 1 из предыдущей главы). Пользуясь теоремами о пределах суммы и произведения, получаем искомое.∎

Пример 1. Найдём производную функции

f (x) = x^{2} sin x

\begin{matrix} f^{'} (x) = (x^{2} sin x)^{'} = (x^{2})^{'} sin x + x^{2} (sin x)^{'} = 2 x sin x + x^{2} cos x . \end{matrix}

\begin{matrix} f^{'} (x) = (x^{2} sin x)^{'} = (x^{2})^{'} sin x + x^{2} (sin x)^{'} = = 2 x sin x + x^{2} cos x . \end{matrix}

16.2Производная частного

Теорема 3. Пусть функция

g

дифференцируема в точке

x_{0}

g (x_{0}) \neq 0

. Тогда функция

h (x) := 1 / g (x)

дифференцируема в точке

x_{0}

h^{'} (x_{0}) = - \frac{g^{'} (x_{0})}{g (x_{0})^{2}} .

Доказательство этой теоремы несложно провести пользуясь определением, аналогично двум предыдущим теоремам. Оставляем это в качестве полезного упражнения.

Теорема 4. Пусть функции

f

g

дифференцируемы в точке

x_{0}

g (x_{0}) \neq 0

. Тогда функция

h (x) := f (x) / g (x)

дифференцируема в точке

x_{0}

h^{'} (x_{0}) = \frac{f^{'} (x_{0}) g (x_{0}) - g^{'} (x_{0}) f (x_{0})}{g (x_{0})^{2}} .

Эту теорему легко вывести из теоремы о производной произведения и теоремы 3. Тоже оставляем в качестве упражнения.

16.3Производная сложной функции

16.3.1Картинка и формулировка

Чтобы сформулировать теорему о производной сложной функции полезно нарисовать картинку и обсудить ещё один способ думать о производной. Пусть функция

f

дифференцируема в точке

x_{0}

, а функция

g

дифференцируема в точке

f (x_{0})

. Рассмотрим их композицию — функцию

h (x) := g (f (x))

. Будем использовать переменные

x

y

z

: функция

f

отображает

x

y

, функция

g

отображает

y

z

, а функция

h

—

x

z

, см. рис. 16.2. Рассмотрим маленький отрезок

I := [x_{0}, x_{0} + Δ x]

на оси

x

. Под действием функции

f

он отображается в отрезок

f (I) = [f (x_{0}), f (x_{0} + Δ x)]

на оси

y

. Производная

f^{'} (x_{0})

показывает, во сколько раз отрезок

f (I)

больше отрезка

I

при маленьких

Δ x

. Иными словами,

f^{'} (x_{0})

показывает, во сколько раз маленькие отрезки с одним из концов в точке

x_{0}

растягиваются под действием

f

Рис. 16.2: Действие композиции на маленький отрезок

Проследим за тем, что происходит с отрезком $I$ под действием отображения $h$ . Сначала на $I$ действует отображение $f$ и он превращается в $f (I)$ , растягиваясь примерно в $f^{'} (x_{0})$ раз. Затем на отрезок $f (I)$ действует отображения $g$ и он превращается в отрезок $g (f (I))$ . Во сколько раз отрезок $g (f (I))$ больше отрезка $f (I)$ ? Во столько, во сколько раз отображение $g$ растягивает маленькие отрезки, один конец которых совпадает с точкой $f (x_{0})$ . Чтобы найти это число нам нужно вычислить значение производной функции $g$ в точке $f (x_{0})$ , то есть $g^{'} (f (x_{0}))$ .

Во сколько раз отрезок $g (f (I))$ больше отрезка $I$ ? Мы сначала растянули отрезок $I$ в $f^{'} (x_{0})$ раз, а потом ещё в $g^{'} (f (x_{0}))$ . Значит, в итоге он растянулся в $f^{'} (x_{0}) g^{'} (f (x_{0}))$ раз. Это и есть значение прозводной функции $h$ в точке $x_{0}$ .

Эти рассуждения не претендуют на аккуратность — аккуратное доказательство будет ниже. Но теперь мы можем сформулировать теорему о производной сложной функции, и получающаяся в ней формула не будет казаться взявшейся с потолка.

Теорема 5. Пусть функция

f

дифференцируема в точке

x_{0}

, а функция

g

дифференцируема в точке

f (x_{0})

. Тогда функция

h (x) := g (f (x))

дифференцируема в точке

x_{0}

h^{'} (x_{0}) = g^{'} (f (x_{0})) f^{'} (x_{0}) .

16.3.2Аккуратные оценки

Доказательство. Обозначим

y_{0} := f (x_{0})

. Определим следующие функции:

\begin{matrix} Δ f (Δ x) & := f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}), Δ g (Δ y) & := g (y_{0} + Δ y) - g (y_{0}) . \end{matrix}

Тогда

\begin{matrix} f^{'} (x_{0}) = lim Δ x \to 0 \frac{Δ f (Δ x)}{Δ x}, g^{'} (y_{0}) = lim Δ y \to 0 \frac{Δ g (Δ y)}{Δ y}, \end{matrix}

\begin{matrix} f^{'} (x_{0}) = lim Δ x \to 0 \frac{Δ f (Δ x)}{Δ x}, g^{'} (y_{0}) = lim Δ y \to 0 \frac{Δ g (Δ y)}{Δ y}, \end{matrix}

\begin{matrix} h^{'} (x_{0}) = lim Δ x \to 0 \frac{Δ g (Δ f (Δ x))}{Δ x} . \\ (16.2) \end{matrix}

Последнее равенство мгновенно следует из картинки (см. рис. 16.3), но формально доказывается так. Заметим, что

\begin{matrix} y_{0} + Δ f (Δ x) = y_{0} + f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = f (x_{0} + Δ x) . \end{matrix}

\begin{matrix} y_{0} + Δ f (Δ x) = y_{0} + f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = = f (x_{0} + Δ x) . \end{matrix}

Таким образом,

\begin{matrix} Δ g (Δ f (Δ x)) = g (y_{0} + Δ f (Δ x)) - g (y_{0}) = g (f (x_{0} + Δ x)) - g (f (x_{0})) . \end{matrix}

\begin{matrix} Δ g (Δ f (Δ x)) = g (y_{0} + Δ f (Δ x)) - g (y_{0}) = = g (f (x_{0} + Δ x)) - g (f (x_{0})) . \end{matrix}

и правая часть (16.2) превращается в определение производной

h^{'} (x_{0})

Нарисованы три оси x, y, z, отмечены точки x_0 и x_0 + Delta x на
оси x, y_0 = f(x_0) и f(x_0 + Delta x) на оси y и
g(y_0)=g(f(x_0))=h(x_0), g(f(x_0+Delta x) = h(x_0 + Delta x) на оси
z. Между осями проставлены стрелочки, показывающие, как действуют
отображения f и g. Отрезок между x_0 и x_0 + Delta x имеет длину
Delta x, отрезок между y_0 = f(x_0) и f(x_0 + Delta x) имеет длину
Delta f(Delta x), отрезок между h(x_0) и h(x_0 + Delta x) имеет
длину Delta g(Delta f(Delta x)).

Рис. 16.3: Функции

Δ f

Δ g

Первая попытка. Естественный первый шаг состоит в том, чтобы представить отношение

\frac{Δ g (Δ f (Δ x))}{Δ x}

в виде произведения двух отношений:

\begin{matrix} \frac{Δ g (Δ f (Δ x))}{Δ f (Δ x)} \cdot \frac{Δ f (Δ x)}{Δ x} \\ (16.3) \end{matrix}

Дальше мы могли бы перейти к пределу при

Δ x \to 0

и получить искомое произведение производных. Однако, тут нас поджидает проблема: значение выражения (16.3) определено не всегда. Может так случиться, что отображение

f

переведёт

x_{0} + Δ x

в ту же точку, что и

x_{0}

, то есть отрезок

I

схлопнется в точку. В этом случае

Δ f (Δ x) = 0

и делить на него нельзя. Что же делать?

Новые функции. Давайте рассмотрим такую функцию:

\begin{matrix} G (Δ y) := \frac{Δ g (Δ y)}{Δ y} . \\ (16.4) \end{matrix}

Она определена в некоторой проколотой окрестности нуля. По определению производной функции

g

lim Δ y \to 0 G (Δ y) = g^{'} (y_{0}) .

Теперь рассмотрим новую функцию:

~ G (Δ y) = {\begin{matrix} G (Δ y), & Δ y \neq 0, g^{'} (y_{0}), & Δ y = 0. \end{matrix}

Иными словами, мы доопределили функцию

G (Δ y)

в нуле значением

g^{'} (y_{0})

. Функция

~ G

непрерывна в точке

0

— мы её ровно так доопредили, чтобы предел функции в этой точке был равен её значению.

Докажем, что для всех $Δ x$ из некоторой проколотой окрестности нуля выполняется равенство

\begin{matrix} \frac{Δ g (Δ f (Δ x))}{Δ x} = ~ G (Δ f (Δ x)) \frac{Δ f (Δ x)}{Δ x} . \\ (16.5) \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{Δ g (Δ f (Δ x))}{Δ x} = = ~ G (Δ f (Δ x)) \frac{Δ f (Δ x)}{Δ x} . \\ (16.5) \end{matrix}

Рассмотрим два случая:

Пусть $Δ f (Δ x) \neq 0$ . Тогда
$\begin{matrix} ~ G (Δ f (Δ x)) & = G (Δ f (Δ x)) = \frac{Δ g (Δ f (Δ x))}{Δ f (Δ x)} . \end{matrix}$

$\begin{matrix} ~ G (Δ f (Δ x)) & = G (Δ f (Δ x)) = = \frac{Δ g (Δ f (Δ x))}{Δ f (Δ x)} . \end{matrix}$
В этом случае правая часть (16.5) совпадает с (16.3) и в нём можно сократить на $Δ f (Δ x)$ и равенство выполняется.
Пусть теперь $Δ f (Δ x) = 0$ . Тогда левая часть (16.5) равна нулю (поскольку функцию $Δ g$ в нуле принимает значение $0$ ), равно как и правая часть, и значит равенство снова выполняется.

Предел сложной функции. Перейдём теперь в равенстве (16.5) к пределу при $Δ x \to 0$ . Имеем:

\begin{matrix} lim Δ x \to 0 \frac{Δ g (Δ f (Δ x))}{Δ x} = lim Δ x \to 0 ~ G (Δ f (Δ x)) \cdot \frac{Δ f (Δ x)}{Δ x} . \end{matrix}

\begin{matrix} lim Δ x \to 0 \frac{Δ g (Δ f (Δ x))}{Δ x} = = lim Δ x \to 0 ~ G (Δ f (Δ x)) \cdot \frac{Δ f (Δ x)}{Δ x} . \end{matrix}

Второй сомножитель стремится к

f^{'} (x_{0})

. Для нахождения предела первого сомножителя воспользуемся теоремой о пределе сложной функции. Предел внутренней функции

Δ f

при

Δ x \to 0

равен нулю. (Действительно, функция

f

непрерывна в точке

x_{0}

, поскольку дифференцируема в этой точке, и значит

{lim}_{Δ x \to 0} f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = 0

.) Внешняя функция

~ G

непрерывна в нуле по построению. Значит,

\begin{matrix} lim Δ x \to 0 ~ G (Δ f (Δ x)) & = ~ G (lim Δ x \to 0 Δ f (Δ x)) = ~ G (0) = g^{'} (y_{0}) = g^{'} (f (x_{0})) . \end{matrix}

\begin{matrix} lim Δ x \to 0 ~ G (Δ f (Δ x)) & = ~ G (lim Δ x \to 0 Δ f (Δ x)) = = ~ G (0) = g^{'} (y_{0}) = = g^{'} (f (x_{0})) . \end{matrix}

Таким образом, по теореме о пределе произведения,

h^{'} (x_{0}) = lim Δ x \to 0 \frac{Δ g (Δ f (Δ x))}{Δ x} = g^{'} (f (x_{0})) f^{'} (x_{0})

и теорема доказана.∎

Пример 2. Найдём производную функции

h (x) = sin (x^{3})

. Внутренняя функция

f (x) = x^{3}

. Внешняя функция

g (y) = sin y

. Их производные:

f^{'} (x) = 3 x^{2}

g^{'} (y) = cos y

. Тогда

\begin{matrix} (sin (x^{3}))^{'} & = g^{'} (f (x)) f^{'} (x) = g^{'} (x^{3}) 3 x^{2} = cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2} = 3 x^{2} cos x^{3} . \end{matrix}

\begin{matrix} (sin (x^{3}))^{'} & = g^{'} (f (x)) f^{'} (x) = g^{'} (x^{3}) 3 x^{2} = = cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2} = 3 x^{2} cos x^{3} . \end{matrix}

Замечание 1. Рассмотрим композицию трёх функций:

w (x) = h (g (f (x)))

. Найдём её производную:

\begin{matrix} w^{'} (x) & = h^{'} (g (f (x))) (g (f (x)))^{'} = h^{'} (g (f (x))) g^{'} (f (x)) f^{'} (x) . \end{matrix}

\begin{matrix} w^{'} (x) & = h^{'} (g (f (x))) (g (f (x)))^{'} = = h^{'} (g (f (x))) g^{'} (f (x)) f^{'} (x) . \end{matrix}

Как мы видим, при дифференцировании композиции нескольких функций их производные как бы «нанизываются» друг на друга в виде длинного произведения. По-английски теорема о производной сложной функции называется chain rule, по-русски её иногда называют цепным правилом.

16.4Заключение

Мы доказали основные теоремы, позволяющие находить производные любых функций, заданных формулами, если известны производные их элементарных составных частей. Например, сколь бы сложной ни была формула, если в ней участвуют только арифметические операции, экспоненты и тригонометрические функции, мы можем посчитать её производную. Когда производная найдена, она позволяет ответить на множество вопросов про поведение функции — в частности, найти её экстремумы и промежутки монотонности. Подробнее о связи свойств производной со свойствами самой функции — на следующей лекции.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Математический анализ Записки лекций

16Нахождение производных

16.1Арифметика производных

16.1.1Производная суммы

16.1.2Производная произведения

16.2Производная частного

16.3Производная сложной функции

16.3.1Картинка и формулировка

16.3.2Аккуратные оценки

16.4Заключение

Математический анализ
Записки лекций