18Обратные функции и их производные

18.1Обратные функции

18.1.1Определение обратного отображения

Пусть отображение $f:X\to Y$ инъективно, то есть не склеивает точки. Если представить себе его в виде картинки со стрелочками (см. рис. 18.1 слева), это будет означать, что нет двух стрелочек, приходящих в один и тот же элемент множества $Y$. Обратим направления всех стрелочек (тот же рис. справа). Теперь из некоторых (но может быть не всех) точек множества $Y$ выходит по одной стрелочке, ведущей в $X$. Так мы получили новое отображение. Оно называется обратным к отображению $f$ и обозначается $f^{-1}$. Какова область определения $f^{-1}$? Это множество всех точек $X$, в которые входит стрелочка, соответствующая отображению $f$. Иными словами, это множество тех точек, в которые переходят какие-то точки из $X$, то есть полный образ $X$ под действием $f$. Он обозначается $f\left(X\right)$: $$\begin{array}{c}f\left(X\right):=\left\{f\right(x)\mid x\in X\}\subset Y;\\ f^{-1}:f\left(X\right)\to X.\end{array}$$ Если отображение $f$ биективно, то $f\left(X\right)=Y$ и обратное действует из $Y$ в $X$.

Как записать формально, что значит, что мы «обратили стрелочки»? Возьмём любую точку $x\in X$. Подействуем на неё отображеним $f$, получим точку $f\left(x\right)\in Y$. Теперь подействуем на $f\left(x\right)$ отображением $f^{-1}$. Мы обязаны вернуться в $x$. Итак, можно дать формальное определение.

18.1.2Обратимость и графики функций

Рассмотрим функцию $f$, заданную графиком. Как понять, является ли она обратимой (то есть инъективной)? Для этого надо провести всевозможные горизонтальные прямые и посмотреть на их точки пересечения с графиком $y=f\left(x\right)$, см. 18.2. Если есть горизонтальные прямые, пересекающие график в двух и более точках, функция необратима. Действительно, пусть прямая $y=c$ пересекает график $y=f\left(x\right)$ в двух точках: $(x_1,c)$ и $(x_2,c)$, $x_1\ne x_2$. Тогда, по определению графика, это означает, что $f\left(x_1\right)=c$ и $f\left(x_2\right)=c$, и значит функция необратима. Если же все горизонтальные прямые пересекают график не более, чем в одной точке, обратная функция существует, см. рис. 18.3. Если прямая $y=c$ не пересекает график функции $f$ вообще, это означает, что точка $c$ не лежит в области значений $f$ и обратная функция в ней не определена. Если прямая $y=c$ пересекает график ровно в одной точке, обозначим эту точку через $(x_1,c)$. Тогда $f\left(x_1\right)=c$ и стало быть $f^{-1}\left(c\right)=x_1$. Таким образом, мы однозначно определили $f^{-1}$ во всех точках, в которых эта функция определена.

18.1.3Графики прямой и обратной функции

Если выбрать одинаковые масштабы горизонтальной и вертикальной оси и нарисовать на одной и той же картинке графики функций $y=x^2$, $x\ge 0$ и $y=\sqrt{x}$, мы увидим, что они получаются друг из друга отражением относительно прямой $y=x$, см. рис. 18.6 слева. Это неудивительно: чтобы превратить график $x^2$ в $\sqrt{x}$, нужно поменять ролями вертикальную и горизонтальную оси, и отражение относительно $y=x$ делает именно это. Можно представить себе, что наша картинка нарисована на прозрачной плёнке. Мы подняли её и повернули вокруг оси вращения, проходящей через прямую $y=x$, а затем снова положили на стол. При этом координатная ось $Ox$ легла на место координатной оси $Oy$ и наоборот, а кусочек параболы лёг на место графика квадратного корня. То же самое происходит и с арксинусом (см. тот же рисунок, справа).

18.1.4Обратные функции и непрерывность

18.2Производная обратной функции

18.2.1Мотивировка и формула

Будем использовать ту же интерпретацию производных, как в доказательстве теоремы о производной сложной функции.

Рассмотрим две оси, $x$ и $y$. Пусть $f\left(x_0\right)=y_0$. Рассмотрим небольшой отрезок $I=[x_0,x_0+\Delta x]$ на оси $x$ и его образ под действием $f$: отрезок $f\left(I\right)=\left[f\right(x_0),f(x_0+\Delta x\left)\right]$ на оси $y$. (Для иллюстрации будем считать, что $f$ возрастает и $\Delta x>0$.) Тогда производная $f^{\prime }\left(x_0\right)$ показывает, во сколько (примерно) раз $f\left(I\right)$ длиннее $I$, то есть во сколько раз отрезок $I$ растягивается отображением $f$, то есть $f^{\prime }\left(x_0\right)\approx |f\left(I\right)|/|I|$.

Посмотрим теперь на обратное отображение $f^{-1}$. Оно переводит отрезок $f\left(I\right)$ назад в отрезок $I$. Когда $I$ маленький, $f\left(I\right)$ тоже маленький. Поэтому $\left(f^{-1}{)}^{\prime }\right(y_0)\approx |I|/|f(I)|$. Обратите внимание: нам нужно брать производную в точке, которая является концом отрезка $f\left(I\right)$, то есть в точке $y_0$. Но $y_0=f\left(x_0\right)$. Таким образом, можно ожидать, чтоЭту формулу мы и будем доказывать.

18.2.2Аккуратная формулировка и доказательство

18.3Заключение

Обратные функции часто встречаются на практике — всегда, когда нам нужно найти решение уравнения $f\left(x\right)=c$, нам нужно использовать обратную функцию. Однако, далеко не всегда это можно сделать явно — даже алгебраические уравнения (где $f$ — многочлен) степени выше четвертой не имеют явных формул (использующих элементарные функции) для своего решения (мы не просто не знаем этих формул — можно доказать, что их не существует). Тем не менее, очень часто они и не нужны, потому что нас интересуют не формулы, а то, как ведут себя функции, и это часто можно понять и без формулы. Именно это демонстрирует теорема, которую мы доказали — она позволяет находить производную обратной функции, не имея явного вида самой этой обратной функции.

---