21Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Допустим, мы знаем значение функции

f

в какой-то точке

x_{0}

, а хотим узнать её значение в точке

x

. Если мы ничего знаем про функцию

f

дополнительно, дело это безнадёжное:

f (x)

может равняться чему угодно, даже если

x

близко к

x_{0}

. Например, функция Дирихле принимает значения

0

1

в сколь угодно близких точках. Однако, если потребовать, чтобы

f

обладало какими-нибудь хорошими свойствами, задача становится не столь бессмысленной. Об этом мы и поговорим. Но сперва нужно ввести некоторые обозначения.

21.1o-символика

21.1.1Определение $o$ -малого

Пусть функцию

f

дифференцируема в точке

x_{0}

. Тогда, как мы знаем, справедливо утверждение о линейном приближении:

\begin{matrix} f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + α (x - x_{0}) \cdot (x - x_{0}), \\ (21.1) \end{matrix}

\begin{matrix} f (x) & = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + + α (x - x_{0}) \cdot (x - x_{0}), \\ (21.1) \end{matrix}

где

α (x - x_{0}) \to 0

при

x \to x_{0}

. Иными словами, выражение

α (x - x_{0}) \cdot (x - x_{0})

не просто маленькое при

x

близком к

x_{0}

, а оно маленькое по сравнению с разностью

x - x_{0}

В дальнейшем нам пригодится более компактное обозначение для функций, которые являются маленькими по сравнению с какими-то другими функциями.

Определение 1. Говорят, что функция

f

является $o$ -маленьким (или

o

-малым) от функции

g

при

x \to x_{0}

если

f

g

определены в некоторой проколотой окрестности точки

x_{0}

g

в этой окрестности не обращается в ноль и

\begin{matrix} lim x \to x_{0} \frac{f (x)}{g (x)} = 0. \\ (21.2) \end{matrix}

Неформально это означает, что

f (x)

становится во сколько угодно раз меньше

g (x)

при

x \to x_{0}

Пример 1. Функция

x^{2}

является

o

-маленьким от

x

при

x \to 0

, поскольку

lim x \to 0 \frac{x^{2}}{x} = lim x \to 0 x = 0.

Пример 2. Функция

sin (1 / x)

является

o

-маленьким от функции

1 / x

при

x \to 0

, поскольку

lim x \to 0 \frac{sin (1 / x)}{1 / x} = lim x \to 0 x sin \frac{1}{x} = 0.

Мы воспользовались тем, что произведение ограниченной функции и стремящейся к нулю стремится к нулю.

Пример 3. Функция

sin (x)

не является

o

-маленьким от функции

x

при

x \to 0

, поскольку

lim x \to 0 \frac{sin (x)}{x} = 1 \neq 0.

(Это первый замечательный предел.)

Пример 4. Функция

sin (1 / x)

не является

o

-маленьким от функции

x

при

x \to 0

, поскольку предел

lim x \to 0 \frac{sin (1 / x)}{x}

не существует.

Вопрос 1. Является ли функция

x^{2}

o

-маленьким от функции

x + x^{2}

при

x \to 0

Да

Верный ответ. Действительно,

lim x \to 0 \frac{x^{2}}{x + x^{2}} = lim x \to 0 \frac{x}{1 + x} = 0.

Нет.

Неверный ответ. А если посчитать предел, что получается?

Замечание 1. На письме утверждение «

f (x)

есть

o

-маленькое от

g (x)

при

x \to x_{0}

» записывают так:

f (x) = o (g (x)), x \to x_{0} .

Однако, нужно понимать, что это не равенство в привычном смысле. Например, из того факта, что

f (x) = o (g (x))

h (x) = o (g (x))

не следует, что

f (x) = h (x)

, чего мы могли бы ожидать от обычного равенства. Правильнее было говорить, что

o (g (x))

есть множество функций, которые обладают свойством (21.2), и записывать

f (x) \in o (g (x)),

однако исторически сложилась запись с равенством, и мы будем её придерживаться.

Замечание 2. Запись

f (x) = h (x) + o (g (x))

означает, что

f (x) - h (x) = o (g (x)),

или, иными словами, найдётся такая функция

s (x)

, являющаяся

o

-маленьким от

g (x)

, что

f (x) = h (x) + s (x) .

21.1.2Свойства $o$ -малого

Можно сформулировать и доказать много разных утверждений про свойства

o

-малых, следующих из определения и свойств пределов. Например:

Утверждение 1. Пусть

f (x) = o (g (x))

h (x) = o (g (x))

. Тогда

f (x) + h (x) = o (g (x))

. Это можно записать короче так:

o (g (x)) + o (g (x)) = o (g (x)) .

В этом равенстве

o

-малые есть и справа и слева — на самом деле, правильно было бы записать так:

o (g (x)) + o (g (x)) \subset o (g (x)),

то есть для любого способа выбрать конкретные функции на место

o (g (x))

в левой части найдётся функция справа, которая будет

o (g (x))

Доказательство. Проверим, что

f (x) + h (x) = o (g (x))

. Действительно:

lim x \to x_{0} \frac{f (x) + h (x)}{g (x)} = lim x \to x_{0} (\frac{f (x)}{g (x)} + \frac{h (x)}{g (x)}) = 0

по теореме о пределе суммы.∎

Утверждение 2. Пусть

f (x) = o (g (x))

c \neq 0

. Тогда

f (x) = o (c g (x))

Доказательство. Действительно,

lim x \to x_{0} \frac{f (x)}{c g (x)} = \frac{1}{c} lim x \to x_{0} \frac{f (x)}{g (x)} = 0.

∎

На семинаре будут обсуждаться и другие свойства такого типа. Для тренировки можете придумать как можно больше верных свойств $o$ -малых и доказать их.

21.2Приближение функций

21.2.1Непрерывность и дифференцируемость

Итак, пусть мы знаем значение функции

f

в точке

x_{0}

, а нас интересует значение

f

в точке

x

. Будем считать, что

x

близко к

x_{0}

Если мы знаем, что $f$ непрерывна, это означает, что ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ , то есть значения в близких точках близки к значению $f (x_{0})$ . Значит можно записать:

f (x) \approx f (x_{0}) .

Если вы ничего не знаете про моделирование погоды и хотите узнать, какую погоду ждать завтра, самый лучший ответ, который вы можете дать — примерно такую же, как сегодня.

Знак приближенного равенства не имеет строгого смысла и не может использоваться в доказательствах. Однако, мы можем использовать $o$ -символику, чтобы сформулировать аккуратное утверждение про непрерывность:

\begin{matrix} f (x) = f (x_{0}) + o (1), \\ (21.3) \end{matrix}

где

o (1)

— это функция, являющаяся

o

-маленьким от

1

при

x \to x_{0}

. По определению,

o (1)

— это такая функция, которая при делении на единицу стремится к нулю, а поскольку деление на единицу ничего не меняет — она сама стремится к нулю. Иными словами, равенство (21.3) — это просто другой способ сказать, что функция

f

непрерывна в точке

x_{0}

В общем, если мы знаем, что функция $f$ непрерывна, и больше ничего, то лучшее, что мы можем сделать — это приблизить её константой, функцией $y = f (x_{0})$ .

Пусть теперь мы знаем, что $f$ не только непрерывна в $x_{0}$ , но и дифференцируема, и, более того, мы знаем её производную в этой точке. Тогда справедливо равенство (21.1), которое может может быть записано в виде:

\begin{matrix} f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + o (x - x_{0}), \\ (21.4) \end{matrix}

\begin{matrix} f (x) & = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + + o (x - x_{0}), \\ (21.4) \end{matrix}

где

o (x - x_{0})

— это какая-то функция, являющаяся

o

-маленьким от

(x - x_{0})

при

x \to x_{0}

. Действительно, если поделить

α (x - x_{0}) \cdot (x - x_{0})

на

(x - x_{0})

, получится

α (x - x_{0})

, а про неё мы знаем, что она стремится к нулю при

x \to x_{0}

В приближении (21.4) мы заменяем функцию не на константу, как в (21.3), а на линейную функцию, и говорим, что разница между настоящей функцией и её линейным приближением будет не просто маленькой при $x \to x_{0}$ (это было верно и в (21.3)), но маленькой по сравнению с $(x - x_{0})$ . Иными словами, воспользовавшись дополнительной информацией (дифференцируемосью и знанием производной), мы получили лучшее приближение для функции.

Можем ли мы продолжить этот процесс? Оказывается, да.

21.2.2Многочлен Тейлора второй степени

Обозначим правые части равенств (21.3) и (21.4) без

o

-малых через

T_{0} (x)

T_{1} (x)

соответственно:

\begin{matrix} T_{0} (x) & := f (x_{0}), T_{1} (x) & := f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) . \end{matrix}

Введённые нами функции

T_{0}

T_{1}

являются многочленами соответственно нулевой и первой степени. У

T_{0}

в точке

x_{0}

такое же значение, как у

f

, а у

T_{1}

не только такое же значение, но и такая же производная:

T_{1} (x_{0}) = f (x_{0}), T_{1}^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) .

Пусть теперь мы знаем, что функция

f

имеет не только первую, но и вторую производную в точке

x_{0}

, и знаем эту производную. Хотим найти многочлен

T_{2}

второй степени, который бы имел в точке

x_{0}

такое же значение и такие же производные, как

f

, то есть хотим, чтобы выполнялись равенства

\begin{matrix} T_{2} (x_{0}) = f (x_{0}), T_{2}^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0}), T_{2}^{''} (x_{0}) = f^{''} (x_{0}) . \end{matrix}

\begin{matrix} T_{2} (x_{0}) & = f (x_{0}), T_{2}^{'} (x_{0}) & = f^{'} (x_{0}), T_{2}^{''} (x_{0}) & = f^{''} (x_{0}) . \end{matrix}

Как этого добиться? Пусть

T_{2} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + q \cdot (x - x_{0})^{2},

где

q

— какая-то константа. Видно, что каким бы ни было

q

T_{2} (x_{0}) = f (x_{0})

T_{2}^{'} (x) = f^{'} (x_{0}) + 2 q \cdot (x - x_{0}),

и значит

T_{2}^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0})

. Таким образом, первые два условия выполняются автоматически. Осталось выбрать такое

q

, чтобы выполнялось и третье условие:

T_{2}^{''} (x) = 2 q = f^{''} (x_{0}) .

Значит

q = f^{''} (x_{0}) / 2

. Таким образом,

\begin{matrix} T_{2} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{''} (x_{0})}{2} (x - x_{0})^{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} T_{2} (x) & = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + + \frac{f^{''} (x_{0})}{2} (x - x_{0})^{2} . \end{matrix}

Пример 5. Пусть

f (x) = 2 + ln x

. Тогда

f^{'} (x) = 1 / x

f^{''} (x) = - 1 / x^{2}

. Пусть

x_{0} = 1

. Построим

T_{0}

T_{1}

T_{2}

\begin{matrix} T_{0} (x) & = f (1) = 2 T_{1} (x) & = f (1) + f^{'} (1) \cdot (x - 1) = 2 + (x - 1) T_{2} (x) & = f (1) + f^{'} (1) \cdot (x - 1) + \frac{f^{''} (1)}{2} \cdot (x - 1)^{2} = 2 + 1 \cdot (x - 1) - \frac{1}{2} (x - 1)^{2} = 2 + (x - 1) - \frac{(x - 1)^{2}}{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} T_{0} (x) & = f (1) = 2 T_{1} (x) & = f (1) + f^{'} (1) \cdot (x - 1) = 2 + (x - 1) T_{2} (x) & = f (1) + f^{'} (1) \cdot (x - 1) + + \frac{f^{''} (1)}{2} \cdot (x - 1)^{2} = = 2 + 1 \cdot (x - 1) - \frac{1}{2} (x - 1)^{2} = = 2 + (x - 1) - \frac{(x - 1)^{2}}{2} . \end{matrix}

Посмотрим на графики

y = f (x)

y = T_{0} (x)

y = T_{1} (x)

y = T_{2} (x)

, см. рис. 21.1. График

y = f (x)

пересекается с горизонтальной прямой

y = T_{0} (x)

в точке

x = 1

и касается прямой

y = T_{1} (x)

в той же точке. Парабола

y = T_{2} (x)

также касается графика

y = f (x)

, причём ещё «плотнее», чем это делает

y = T_{1} (x)

— в точках, близких к

x_{0}

, она лучше приближает график нашей функции.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

def f(x):
    return np.log(x) + 2
def T0(x):
    return np.ones_like(x) * 2
def T1(x):
    return 2 + (x - 1)
def T2(x):
    return 2 + (x - 1) - (x - 1) ** 2 / 2

x = np.linspace(-0.05, 3.7, 211)
plt.figure(figsize=(6, 5))
plt.plot(x, f(x), label='$y=f(x)$', lw=2)
plt.plot(x, T0(x), label='$y=T_0(x)$', lw=1)
plt.plot(x, T1(x), label='$y=T_1(x)$', lw=1)
plt.plot(x, T2(x), label='$y=T_2(x)$', lw=1)
plt.legend(loc=4)

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.2, xmax=3.7, ymin=-1.2, ymax=2.8, 
               xlabel="x", ylabel="y")

Рис. 21.1: Нулевое, первое и второе приближение логарифма

Построенные нами многочлены $T_{0}$ , $T_{1}$ и $T_{2}$ называются многочленами Тейлора. Как видно из построения и примера 5, многочлен Тейлора первой степени — это просто функция, задающая касательную, а многочлен Тейлора второй степени обобщает понятие касательной: вместо приближения графика прямой линией мы приближаем его параболой, и за счёт этого можем получить лучшую точность приближения.

21.2.3Тейлоровские многочлены в общем виде

Процесс построения многочленов Тейлора можно продолжать. Пусть функция

f

имеет

n

-ю производную в точке

x_{0}

(и, стало быть, все производные меньших порядков тоже).

Определение 2. Построим многочлен

\begin{matrix} T_{n} (x) & := f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{''} (x_{0})}{2} (x - x_{0})^{2} + \frac{f^{'''} (x_{0})}{3!} (x - x_{0})^{3} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} = = n \sum k = 0 \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} . \end{matrix}

\begin{matrix} T_{n} (x) & := f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + + \frac{f^{''} (x_{0})}{2} (x - x_{0})^{2} + + \frac{f^{'''} (x_{0})}{3!} (x - x_{0})^{3} + \dots + + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} = = n \sum k = 0 \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} . \end{matrix}

где

f^{(k)}

— это

k

-я производная функции

f

, нулевая производная — это сама функция,

0! = 1

Этот многочлен называется многочленом Тейлора степени $n$ для функции $f$ в окрестности точки $x_{0}$ .

Утверждение 3. Для всех

k = 0, \dots, n

T_{n}^{(k)} (x_{0}) = f^{(k)} (x_{0}) .

Доказательство. Утверждение проверяется непосредственно дифференцированием. Поскольку при каждом дифференцировании степень монома

x^{l}

уменьшается на единицу, при

k

-кратном дифференцировании все слагаемые степени меньше

k

превращаются в ноль. Все слагаемые степени больше

k

будут иметь вид

C (x - x_{0})^{m}

для каких-то чисел

C

m \in N

. При подстановке

x = x_{0}

они обнулятся. Значит, останется только слагаемое степени

k

. В результате каждого дифференцирования степень уменьшается на единицу и сносится коэффициентом рядом с соответствующим слагаемым. После

k

дифференцирований коэффициент будет равен

k!

и он сократится с

k!

в знаменателе. Останется

f^{(k)} (x_{0})

, что и требовалось получить.∎

21.2.4Остаточный член в форме Пеано

До сих пор мы просто формально строили какие-то многочлены, ничего не говоря о том, как он будет соотноситься с исходной функцией

f

, по которой он строился. Настало время это исправить.

При построении каждого следующего тейлоровского многочлена мы используем всё больше и больше информации про функцию $f$ : значение, производную, вторую производную, третью производную и т.д. Разумно ожидать, что многочлены больших степеней будут приближать нашу функцию всё лучше и лучше. Есть разные способы это формализовать. Сейчас мы сформулируем один из них.

Теорема 1. (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано) Пусть

f

имеет

n

производных в точке

x_{0}

T_{n}

— многочлен Тейлора для функции

f

в окрестности точки

x_{0}

. Тогда

\begin{matrix} f (x) = T_{n} (x) + o ((x - x_{0})^{n}), x \to x_{0} . \\ (21.5) \end{matrix}

\begin{matrix} f (x) & = T_{n} (x) + o ((x - x_{0})^{n}), x \to x_{0} . \\ (21.5) \end{matrix}

Доказательство. Для

n = 1

формула Тейлора совпадает с (21.4) и была доказана ранее. Пусть

n > 1

Нам нужно доказать, что $f (x) - T_{n} (x)$ является $o ((x - x_{0})^{n})$ при $x \to x_{0}$ , то есть доказать, что предел

\begin{matrix} lim x \to x_{0} \frac{f (x) - T_{n} (x)}{(x - x_{0})^{n}} \\ (21.6) \end{matrix}

равен нулю.

Найдём этот предел явно. Поскольку $f (x_{0}) = T_{n} (x_{0})$ , он является неопределенностью $0 / 0$ . Заметим, что числитель и знаменатель дифференцируемы в окрестности точки $x_{0}$ : поскольку у функции $f$ есть $n$ производных в точке $x_{0}$ , это означает, что $(n - 1)$ -я производная определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$ , иначе производную от неё нельзя было определить; но тогда и $(n - 2)$ -я производная существует в окрестности и т.д. до первой производной; $T_{n}$ является многочленом и дифференцируем сколько угодно раз где угодно, равно как и $(x - x_{0})^{n}$ в знаменателе. Производная знаменателя не обнуляется при $x \neq x_{0}$ . Значит, можем применить правило Лопиталя и рассмотреть новый предел:

lim x \to x_{0} \frac{f^{'} (x) - T_{n}^{'} (x)}{n (x - x_{0})^{n - 1}} .

Поскольку

f^{'} (x_{0}) = T_{n}^{'} (x_{0})

, это снова неопределенность

0 / 0

. Если

n > 2

, вторая производная функции

f

существует в окрестности

x_{0}

и мы можем снова применить правило Лопиталя. Получится такой предел:

lim x \to x_{0} \frac{f^{''} (x) - T_{n}^{''} (x)}{n (n - 1) (x - x_{0})^{n - 2}} .

Так мы можем продолжать до тех пор, пока в числителе не появится производная порядка

(n - 1)

\begin{matrix} lim x \to x_{0} \frac{f^{(n - 1)} (x) - T_{n}^{(n - 1)} (x)}{n! (x - x_{0})} . \\ (21.7) \end{matrix}

Дальше использовать правило Лопиталя нельзя: нам известно, что

n

-я производная функции

f

существует к точке

x_{0}

, но не факт, что она существует в окрестности этой точки. Значит, условия теоремы о правиле Лопиталя могут не выполняться. Однако, это не страшно. Заметим, что

T_{n}^{(n - 1)} (x) = f^{(n - 1)} (x_{0}) + f^{(n)} (x_{0}) (x - x_{0}) .

Проверьте, что это так (в частности, факториалы сократятся). Тогда предел (21.7) записывается в виде:

\begin{matrix} lim x \to x_{0} \frac{f^{(n - 1)} (x) - f^{(n - 1)} (x_{0}) - f^{(n)} (x_{0}) (x - x_{0})}{n! (x - x_{0})} = = \frac{1}{n!} lim x \to x_{0} (\frac{f^{(n - 1)} (x) - f^{(n - 1)} (x_{0})}{x - x_{0}} - f^{(n)} (x_{0})) . \end{matrix}

\begin{matrix} lim x \to x_{0} \frac{1}{n! (x - x_{0})} (f^{(n - 1)} (x) - - f^{(n - 1)} (x_{0}) - f^{(n)} (x_{0}) (x - x_{0})) = = \frac{1}{n!} lim x \to x_{0} (\frac{f^{(n - 1)} (x) - f^{(n - 1)} (x_{0})}{x - x_{0}} - - f^{(n)} (x_{0})) . \end{matrix}

Предел первого слагаемоего — это просто определение производной функции функции

f^{(n - 1)}

в точке

x_{0}

. (Нужно приглядется к пределу и увидеть. Пригляделись? Ага, это оно.) А поскольку производная от

(n - 1)

-й производной — это

n

-я производная, предел первого слагаемого равен

f^{(n)} (x_{0})

, а весь предел — нулю.

Теперь применение правила Лопиталя на каждом шаге обосновано и доказано, что исходный предел (21.6) тоже равен нулю. Что и требовалось!∎

Замечание 3. Когда для функции

f

записывают равенство (21.5), также говорят, что это разложение функции

f

в ряд Тейлора в точке

x_{0}

с остаточным членом в форме Пеано до членов порядка

n

. (Хотя строго говоря никакого ряда тут нет.)

21.3Применение формулы Тейлора

21.3.1Вычисление пределов

Пример 6. Найдём предел

lim x \to 1 \frac{ln (x) - x + 1}{(x - 1)^{2}} .

Это неопределенность

0 / 0

и в принципе её можно было бы раскрыть с помощью правила Лопиталя, но мы сделаем иначе. Разложим функцию

ln (x)

в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в окрестности точки

1

до членов порядка

2

(ср. с примером 5 — разница только в константе). Получим:

ln x = (x - 1) - \frac{(x - 1)^{2}}{2} + o ((x - 1)^{2}) .

Подставим это выражение в наш предел. Имеем:

\begin{matrix} lim x \to 1 \frac{ln (x) - x + 1}{(x - 1)^{2}} = lim x \to 1 \frac{(x - 1) - \frac{(x - 1)^{2}}{2} + o ((x - 1)^{2}) - x + 1}{(x - 1)^{2}} = = lim x \to 1 \frac{- \frac{(x - 1)^{2}}{2} + o ((x - 1)^{2})}{(x - 1)^{2}} = lim x \to 1 (- \frac{1}{2} + \frac{o ((x - 1)^{2})}{(x - 1)^{2}}) . \end{matrix}

\begin{matrix} lim x \to 1 \frac{ln (x) - x + 1}{(x - 1)^{2}} = = lim x \to 1 \frac{(x - 1) - \frac{(x - 1)^{2}}{2} + o ((x - 1)^{2}) - x + 1}{(x - 1)^{2}} = = lim x \to 1 \frac{- \frac{(x - 1)^{2}}{2} + o ((x - 1)^{2})}{(x - 1)^{2}} = = lim x \to 1 (- \frac{1}{2} + \frac{o ((x - 1)^{2})}{(x - 1)^{2}}) . \end{matrix}

Но по определению

o

-маленького, второе слагаемое стремится к нулю. (Какая бы функция не была написана вместо

o ((x - 1)^{2})

, если её поделить на

(x - 1)^{2}

, частное будет стремиться к нулю.) Значит, предел равен

- 1 / 2

21.3.2Достаточное условие экстремума

Теорема 2. Пусть функция

f

определена в окрестности

x_{0}

, дважды дифференцируема в

x_{0}

f^{'} (x_{0}) = 0

. Тогда если

f^{''} (x_{0}) > 0

, то в точке

x_{0}

строгий локальный минимум, а если

f^{''} (x_{0}) < 0

, то строгий локальный максимум.

Доказательство. Разложим функцию

f

в ряд Тейлора в точке

x_{0}

до членов порядка

2

. Имеем:

\begin{matrix} f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{''} (x_{0})}{2} (x - x_{0})^{2} + o ((x - x_{0})^{2}) . \end{matrix}

\begin{matrix} f (x) & = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + + \frac{f^{''} (x_{0})}{2} (x - x_{0})^{2} + + o ((x - x_{0})^{2}) . \end{matrix}

Заметим, что

f^{'} (x_{0}) = 0

, и второе слагаемое в формуле обнуляется. Заменим

o ((x - x_{0})^{2})

на

β (x - x_{0}) (x - x_{0})^{2}

, где

β (x - x_{0}) \to 0

при

x \to x_{0}

. (Наличие такого представления эквивалентно определению

o

-малого.) Получаем такую штуку:

\begin{matrix} f (x) = f (x_{0}) + (\frac{f^{''} (x_{0})}{2} + β (x - x_{0})) (x - x_{0})^{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} f (x) = f (x_{0}) + + (\frac{f^{''} (x_{0})}{2} + β (x - x_{0})) (x - x_{0})^{2} . \end{matrix}

Поскольку

β (x - x_{0}) \to 0

при

x \to x_{0}

, в достаточно маленькой окрестности

x_{0}

знак выражения

(f^{''} (x_{0}) / 2 + β (x - x_{0}))

совпадает со знаком

f^{''} (x_{0})

, а

(x - x_{0})^{2} > 0

при

x \neq 0

. Таким образом, если

f^{''} (x_{0}) > 0

, то второе слагаемое положительно, а

f (x) > f (x_{0})

, а если

f^{''} (x_{0}) < 0

, то отрицательно, и

f (x) < f (x_{0})

. Это и есть определения минимума и максимума соответственно.∎

21.4Заключение

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано — пожалуй, самый важный факт дифференциального исчисления. Это своего рода микроскоп, с помощью которого можно изучать сколь угодно тонкие локальные свойства функций. Однако, теорема 1 не говорит ничего про какую-то конкретную точку

x

. Она говорит, что если

x

приближается к

x_{0}

, то тейлоровские многочлены быстро приближаются к значениям функции. Но что если мы будем делать наоборот — зафиксируем

x

и будем увеличивать

n

? Будет ли значение тейлоровских многочленов в точке

x

всё лучшим и лучшим приближением к

f (x)

? Оказывается, далеко не всегда. Однако во многих случаях — особенно важных с практической точки зрения — будет. Об этом — в следующей лекции.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Математический анализ Записки лекций

21Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

21.1o-символика

21.1.1Определение o-малого

21.1.2Свойства o-малого

21.2Приближение функций

21.2.1Непрерывность и дифференцируемость

21.2.2Многочлен Тейлора второй степени

21.2.3Тейлоровские многочлены в общем виде

21.2.4Остаточный член в форме Пеано

21.3Применение формулы Тейлора

21.3.1Вычисление пределов

21.3.2Достаточное условие экстремума

21.4Заключение

Математический анализ
Записки лекций

21.1.1Определение $o$ -малого

21.1.2Свойства $o$ -малого