25Формула Ньютона — Лейбница

На предыдущей лекции мы ввели понятие определенного интеграла (интеграла Римана), который геометрически определяется как площадь под графиком функции. Оказывается, задача отыскания площади тесно связана с задачей дифференцирования функции. Можно сказать, что эти задачи обратны друг другу. Что точно это значит, мы обсудим в этой лекции.

25.1Первообразные

Пусть мы решаем такую задачу: нам известно, что скорость роста некоторой величины описывается функцией

f (x) = x^{2}

. Что можно сказать про саму величину?

Иными словами, нам известно, что у некоторой функции $F$ производная равна $F^{'} (x) = x^{2}$ . Как найти $F$ ?

Можно попробовать угадать. Производная является степенной функцией. Мы знаем, что производной степенной функции является снова степенная функция (с точностью до умножения на некоторый коэффициент), так что можно предположить, что $F (x)$ будет задаваться в похожем виде: степенная функция умножить на что-то. При дифференцировании степень уменьшается на один — значит, можно ожидать, что степень $F$ на единицу больше степени $F^{'}$ , то есть равна $3$ . Возьмём функцию $y = x^{3}$ , её производная равна $3 x^{2}$ — это почти то, что нам нужно, только коэффициент $3$ мешается. Однако мы знаем, что если поделить исходную функцию на какую-то константу, то её производная тоже поделится на такую же константу. Чтобы избавиться от тройки, нужно поделить исходную функцию на три, то есть можно взять

F (x) = \frac{x^{3}}{3} .

Дифференцированием проверяется, что

F^{'} (x) = x^{2}

, тем самым такое решение подходит. Но является ли оно единственным? Очевидно, нет. Как минимум, можно прибавлять к

x^{3} / 3

любую константу — при дифференцировании она обнулится и на производную не повлияет. Таким образом, любая функция вида

F (x) = \frac{x^{3}}{3} + C

является решением нашей задачи. Чуть позже мы покажем, что других решений нет.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(6, 6), sharex=True)
x = np.linspace(-2, 2, 200)
ax1.plot(x, x ** 2, label='$y=x^2$')
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False, ax=ax1)
ob.settle_axes(xmin=-1.7, xmax=1.7, ymin=-1.2, ymax=2.8, 
               xlabel="x", ylabel="y", ax=ax1) 
ax1.legend()
ax1.set_xticks([])
ax1.set_yticks([])

ax2.plot(x, x ** 3 / 3, label='$y=x^3/3$', color='C1')
ax2.plot(x, x ** 3 / 3 + 0.5, label='$y=x^3/3+1/2$', color='C2')
ax2.plot(x, x ** 3 / 3 + 1, label='$y=x^3/3+1$', color='C3')
ax2.plot(x, x ** 3 / 3 - 0.5, label='$y=x^3/3-1/2$', color='C4')
ax2.set_yticks([])
ax2.legend()
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False, ax=ax2)
ob.settle_axes(xmin=-1.7, xmax=1.7, ymin=-2.2, ymax=2.8, 
               xlabel="x", ylabel="y", ax=ax2)

Рис. 25.1: Различные первообразные функции

x^{2}

отличаются друг от друга добавлением константы, что соответствует вертикальному сдвигу графика

Определение 1. Пусть функция

f

непрерывна на отрезке

[a, b]

. Её первообразной (англ. antiderivative) называется такая функция

F

, что для всякого

x \in [a, b]

\begin{matrix} F^{'} (x) = f (x), \\ (25.1) \end{matrix}

где производные на концах отрезка понимаются в смысле односторонних производных.

Пример 1. Любая функция вида

x^{3} / 3 + C

является первообразной для функции

x^{2}

. Любая функция вида

- cos x + C

является первообразной к функции

sin x

. Любая функция вида

e^{x} + C

является первообразной к функции

e^{x}

Утверждение 1. Пусть

F

G

— две первообразные одной и той же функции

f

на отрезке

[a, b]

. Тогда существует такая константа

C

, что для всех

x \in [a, b]

G (x) = F (x) + C .

Иными словами, все различные первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга только выбором прибавляемой константы.

Доказательство. Пусть

F

G

— две первообразные одной и той же функции

f

на отрезке

[a, b]

. Тогда для всех

x \in [a, b]

F^{'} (x) = f (x) = G^{'} (x) .

Рассмотрим функцию

H (x) = G (x) - F (x)

. Мы хотим доказать, что она является константой. Действительно, найдём её производную. Для всякого

x \in [a, b]

H^{'} (x) = G^{'} (x) - F^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0.

По теореме Лагранжа о конечных приращениях, для всякого

x \in [a, b]

найдётся такое

c \in (a, x)

, что

\begin{matrix} H (x) = H (a) + H^{'} (c) (x - a) = H (a) + 0 \cdot (x - a) = H (a) . \end{matrix}

\begin{matrix} H (x) & = H (a) + H^{'} (c) (x - a) = = H (a) + 0 \cdot (x - a) = H (a) . \end{matrix}

Таким образом,

H (x) = H (a)

, то есть функция

H

во всех точках принимает одно и то же значение, и значит является константой. Можно обозначить

C := H (a)

и получить искомое равенство.∎

Замечание 1. В нашем определении первообразной требуется, чтобы функция

f

была определена и непрерывна на отрезке

[a, b]

и равенство (25.1) выполнялось во всех точках отрезка

[a, b]

. Если бы мы требовали соблюдения равенства (25.1) на области определения функции

f

, и допускали, что функция

f

может быть не определена в каких-то точках, заключение утверждения 1 могло бы быть неверным. Например, найдите все возможные функции, удовлетворяющие условию

F^{'} (x) = 1 / x^{2}

при всех

x \neq 0

. Их больше, чем кажется!

25.2Связь интегралов и первообразных

25.2.1Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция

f

непрерывна на отрезке

[a, b]

. Тогда, как мы знаем, функция интегрируема на этом отрезке и для всякого

t \in [a, b]

определён следующий интеграл:

\begin{matrix} \int_{a}^{t} f (x) d x . \\ (25.2) \end{matrix}

Интеграл (25.2) называется интегралом с переменным верхним пределом. Его значение зависит от

t

, то есть он задаёт функцию от переменной

t

. Обозначим эту функцию через

G (t)

Пример 2. Пусть

f (x) = 3

a = 1

. Тогда при

t > 1

интеграл

G (t) = \int_{1}^{t} 3 d x

равен площади прямоугольника шириной

(t - 1)

и высотой

3

. Значит,

G (t) = 3 (t - 1) = 3 t - 3

Пример 3. Пусть

f (x) = x

a = 2

. Тогда при

t > 2

интеграл

\int_{a}^{t} f (x) d x

равен площади трапеции высотой

t - 2

и основаниями

2

t

. Из геометрии мы знаем, что площадь такой трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований, то есть

G (t) = (t - 2) \frac{t + 2}{2} = \frac{t^{2} - 4}{2} = \frac{t^{2}}{2} - 2.

25.2.2Формулировка и доказательство формулы Ньютона — Лейбница

Теорема 1. (Формула Ньютона — Лейбница.) Пусть

f

непрерывна на отрезке

[a, b]

G (t) := \int_{a}^{t} f (x) d x .

Тогда справедливы два утверждения:

$G$ является первообразной $f$ , то есть для всех $x_{0} \in [a, b]$ ,
$\begin{matrix} G^{'} (x_{0}) = f (x_{0}) . \\ (25.3) \end{matrix}$
Для любой первообразной $F$ функции $f$ справедливо утверждение:
$\begin{matrix} \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) . \\ (25.4) \end{matrix}$

Доказательство. Докажем первое утверждение: интеграл как функция своего верхнего предела является первообразной подынтегральной функции (звучит немножко как заклинание, но если прочитать его медленно и вдумчиво, вы увидите, что это правда то, что написано в первом утверждении).

Приращение функции. Запишем определение производной для функции $G$ в некоторой точке $x_{0} \in (a, b)$ (на концах нужно взять соответствующую одностороннюю производную):

\begin{matrix} G^{'} (x_{0}) = lim Δ x \to 0 \frac{G (x_{0} + Δ x) - G (x_{0})}{Δ x} . \\ (25.5) \end{matrix}

\begin{matrix} G^{'} (x_{0}) = = lim Δ x \to 0 \frac{G (x_{0} + Δ x) - G (x_{0})}{Δ x} . \\ (25.5) \end{matrix}

Числитель (приращение функции

G

) можно переписать следующим образом:

\begin{matrix} G (x_{0} + Δ x) - G (x_{0}) = \int_{a}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x - \int_{a}^{x_{0}} f (x) d x . \\ (25.6) \end{matrix}

\begin{matrix} G (x_{0} + Δ x) - G (x_{0}) = = \int_{a}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x - - \int_{a}^{x_{0}} f (x) d x . \\ (25.6) \end{matrix}

Это разница площадей двух фигур, которая равна интегралу по отрезку

[x_{0}, x_{0} + Δ x]

. Формально можно заметить, что в силу аддитивности интеграла (см. (24.5)),

\begin{matrix} \int_{a}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x = \int_{a}^{x_{0}} f (x) d x + \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x . \end{matrix}

\begin{matrix} \int_{a}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x = = \int_{a}^{x_{0}} f (x) d x + \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x . \end{matrix}

Подставляя это разложение в (25.6), имеем:

\begin{matrix} G (x_{0} + Δ x) - G (x_{0}) = \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x . \\ (25.7) \end{matrix}

\begin{matrix} G (x_{0} + Δ x) - G (x_{0}) = = \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x . \\ (25.7) \end{matrix}

Эта формула действует и при положительных, и при отрицательных

Δ x

. В дальнейшем для простоты мы будем считать, что

Δ x

положительно, хотя все рассуждения легко адаптируются на случай отрциательных

Δ x

Ключевая идея. Заметим, что интеграл (25.7) — это площадь узкой полоски шириной $Δ x$ , которая близка к площади прямоугольника шириной $Δ x$ и высотой $f (x_{0})$ . Полоска не является идеальным прямоугольником, потому что значение функции меняется, и её верхняя граница не является горизонтальной прямой. Однако, в силу непрерывности, на маленьком отрезке длиной $[x_{0}, x_{0} + Δ x]$ значения функции близки к $f (x_{0})$ , и отклонение площади полоски от площади соответствующего отрезка небольшое — оно маленькое по сравнению с $Δ x$ . Если теперь поделить площадь этого прямоугольника на $Δ x$ , то есть на его ширину, останется как раз его высота, то есть $f (x_{0})$ .

Оценки сверху и снизу. Аккуратное рассуждение выглядит так. На отрезке $[x_{0}, x_{0} + Δ x]$ функция $f$ является непрерывной, и следовательно принимает свои максимальные и минимальные значения. Для разных значений $Δ x$ эти значения и точки, в которых они принимаются, могут быть разными. Обозначим соответствующие значения через $M (Δ x)$ и $m (Δ x)$ , а точки, в которых они принимаются, через $x_{max} (Δ x)$ и $x_{min} (Δ x)$ :

\begin{matrix} M (Δ x) := max {f (x) ∣ x \in [x_{0}, x_{0} + Δ x]} = f (x_{max} (Δ x)); m (Δ x) := min {f (x) ∣ x \in [x_{0}, x_{0} + Δ x]} = f (x_{min} (Δ x)) . \\ (25.8) (25.9) \end{matrix}

\begin{matrix} M (Δ x) := max {f (x) ∣ x \in [x_{0}, x_{0} + Δ x]} = f (x_{max} (Δ x)); m (Δ x) := min {f (x) ∣ x \in [x_{0}, x_{0} + Δ x]} = f (x_{min} (Δ x)) . \\ (25.8) (25.9) \end{matrix}

По определению минимума и максимума, для всех

x \in [x_{0}, x_{0} + Δ x]

\begin{matrix} m (Δ x) \leq f (x) \leq M (Δ x) . \\ (25.10) \end{matrix}

Неравенства можно интегрировать (см. утверждение 3 из предыдуещй лекции). Проинтегрируем (25.10) по отрезку

[x_{0}, x_{0} + Δ x]

. Получим:

\begin{matrix} \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} m (Δ x) d x \leq \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x \leq \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} M (Δ x) d x . \end{matrix}

\begin{matrix} \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} m (Δ x) d x \leq \leq \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x \leq \leq \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} M (Δ x) d x . \end{matrix}

В самой левой и самой правой частях неравенства подынтегральные функции — константы (они зависят от

Δ x

, но интегрирование происходит по переменной

x

, и с точки зрения этого интегрирования, они константы). Соответствующие интегралы — это просто площади прямоугольников, они равны

m (Δ x) Δ x

M (Δ x) Δ x

соответственно. Значит

\begin{matrix} m (Δ x) Δ x \leq \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x \leq M (Δ x) Δ x . \\ (25.11) \end{matrix}

\begin{matrix} m (Δ x) Δ x \leq \leq \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x \leq \leq M (Δ x) Δ x . \\ (25.11) \end{matrix}

Геометрически это соответствует тому, что мы ограничили нашу узкую полоску двумя прямоугольниками: она содержится целиком внутри прямоугольника, высота которого равна

M (Δ x)

, а прямоугольник с высотой

m (Δ x)

содержится внутри неё. Значит, её площадь находится между площадями этих двух прямоугольников.

Предельный переход. Разделим неравенство (25.11) на $Δ x$ (мы сейчас предполагаем, что $Δ x > 0$ , обратный случай рассматривается аналогично):

\begin{matrix} m (Δ x) \leq \frac{1}{Δ x} \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x \leq M (Δ x) . \\ (25.12) \end{matrix}

\begin{matrix} m (Δ x) \leq \leq \frac{1}{Δ x} \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x \leq \leq M (Δ x) . \\ (25.12) \end{matrix}

Посередине написано выражение, стоящее под знаком предела в определении производной функции

G

(см. (25.5) с учётом (25.6)). Согласно (25.8),

M (Δ x) = f (x_{max} (Δ x))

x_{0} \leq x_{max} (Δ x) \leq x_{0} + Δ x

. По теореме о двух милиционерах, из этого следует, что

x_{max} (Δ x) \to x_{0}

при

Δ x \to 0

. В силу непрерывности функции

f

по теореме о пределе сложной функции, отсюда следует, что

M (Δ x) = f (x_{max} (Δ x)) \to f (x_{0})

при

Δ x \to 0

. Аналогичное утверждение справедливо и для

m (Δ x)

m (Δ x) = f (x_{min} (Δ x)) \to f (x_{0}) .

Применяя теорему о двух милиционерах к неравенствам (25.12) при

Δ x \to 0

, имеем:

f (x_{0}) \leq lim Δ x \to 0 \frac{1}{Δ x} \int_{x_{0}}^{x_{0} + Δ x} f (x) d x \leq f (x_{0}) .

Выражение посередине является производной

G^{'} (x_{0})

, и в силу полученных неравенство,

G^{'} (x_{0}) = f (x_{0})

, как и ожидалось.

Интеграл как разность значений первообразной. Докажем теперь второе утверждение — это гораздо проще. Мы уже знаем, что $G$ является первообразной функции $f$ на отрезке $[a, b]$ . Мы также знаем, что $F$ — какая-то другая её первообразная, и значит (согласно утверждению 1) она отличается от $G$ на константу, то есть существует такая константа $C$ , что для всех $x \in [a, b]$

G (x) = F (x) + C .

Осталось найти эту константу. Подставим в это равенство

x = a

. В левой части будет

G (a)

— то есть интеграл от

f

по отрезку от

a

до

a

. Он равен нулю (см. (24.6)). Справа будет

F (a) + C

. Таким образом,

0 = F (a) + C,

то есть

C = - F (a)

. Значит для любого

x \in [a, b]

G (x) = F (x) - F (a)

и значит

\int_{a}^{b} f (x) d x = G (b) = F (b) - F (a) .

Формула Ньютона — Лейбница доказана.∎

Замечание 2. У нас есть некоторый произвол в выборе функции

F

— она может быть любой первообразной для

f

. Однако, этот произвол не влияет на результат: все первообразные отличаются друг от друга на константу, и если к

F

добавить эту константу, то в правой части формулы (25.4) она появится дважды с разными знаками и значение не поменяется.

25.2.3Нахождение интегралов с помощью первообразных

Формулу Ньютона — Лейбница также называют фундаментальной теоремой анализа (англ. fundamental theorem of calculus), поскольку она связывает два главных раздела этой науки — дифференциальное и интегральное исчисление. Наиболее популярным её применением — по крайней мере, в учебных курсах типа нашего — является нахождение интегралов с помощью первообразных. Приведём несколько примеров.

Пример 4. Найдём

\int_{0}^{4} x d x .

Заметим, что для функции

f (x) = x

одной из первообразных является функция

F (x) = x^{2} / 2

(проверяется дифференцированием). Значит

\int_{0}^{4} x d x = F (4) - F (0) = \frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} = 8.

Можно проверить этот результат. Наш интеграл — это площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными

4

. Его площадь равна

4 \times 4 / 2 = 8

. Сошлось!

Пример 5. Найдём

\int_{1}^{2} x^{2} d x .

Первообразной для

x^{2}

является функция

F (x) = x^{3} / 3

. Значит

\int_{1}^{2} x^{2} d x = F (2) - F (1) = \frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{7}{3} .

Тут уже через элементатную геометрию ответ не проверишь — интересующая нас фигура не является многоугольником, её верхняя граница проходит по параболе.

Пример 6. Найдём

\int_{0}^{π} sin x d x .

Мы знаем, что первообразной для

sin x

является

F (x) = - cos x

. Значит

\begin{matrix} \int_{0}^{π} sin x = F (π) - F (0) = (- cos π) - (- cos 0) = 1 + 1 = 2. \end{matrix}

\begin{matrix} \int_{0}^{π} sin x = F (π) - F (0) = = (- cos π) - (- cos 0) = 1 + 1 = 2. \end{matrix}

Замечание 3. При вычислении значений интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница часто приходится вычислять разность значений одной и той же функции

F

в двух разных точках. Чтобы сократить запись, используют такое обозначение:

F (b) - F (a) =: {F (x) |}_{a}^{b} .

Например, решение последнего примера обычно записывается так:

\begin{matrix} \int_{0}^{π} sin x d x = {(- cos x) |}_{0}^{π} = - cos π - (- cos 0) = 2. \end{matrix}

\begin{matrix} \int_{0}^{π} sin x d x = = {(- cos x) |}_{0}^{π} = = - cos π - (- cos 0) = 2. \end{matrix}

25.3Заключение

Мы доказали формулу Ньютона — Лейбница, и обнаружили, что задача отыскания площади сводится к задаче отыскания первообразной — то есть такой функции, чья производная равна подыинтегральной функции. Как находить первообразные? До сих пор мы это делали методом угадывания, и с совсем простыми функциями (степенными, тригонометрическими, экспонентой) этот фокус проходил. Но что делать, если функция, которую нужно проинтегрировать, устроена сложнее? Плохая новость: универсальных методов отыскания первообразных не существует, и, более того, первообразная вообще может не записываться в виде формулы, содержащей функции, которые мы проходили до сих пор. Хорошая новость: иногда эта задача всё-таки решается, и в следующей лекции мы обсудим некоторые методы интегрирования.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Математический анализ Записки лекций

25Формула Ньютона — Лейбница

25.1Первообразные

25.2Связь интегралов и первообразных

25.2.1Интеграл с переменным верхним пределом

25.2.2Формулировка и доказательство формулы Ньютона — Лейбница

25.2.3Нахождение интегралов с помощью первообразных

25.3Заключение

Математический анализ
Записки лекций