13Непрерывность
Рассмотрим функцию . Чему равен её предел при ? С помощью арифметики пределов легко показать, что он равен , то есть значению функции в точке . Мы обсуждали (см. пример 10 из лекции 10), что это не всегда так работает. Однако, случай, когда работает, очень важен, и имеет специальное название.13.1Непрерывность функции в точке
13.1.1Определение непрерывности
Как видно из этого определения, чтобы функция была непрерывной в некоторой точке, она должна как минимум быть определена в этой точке и иметь в ней предел. Если какое-то из этих условий нарушается, функция не является непрерывной автоматически. Наконец, может статься, что и значение функции в точке есть, и предел есть, но они не равны друг другу. В этом случае функция также не является непрерывной в точке .
Условие (13.1) можно переписать в кванторах:
13.1.2Односторонняя непрерывность
Чтобы говорить о непрерывности функции в точке, нам нужно, чтобы функция была определена в окрестности этой точки. Но часто бывает, что функции определены на каких-то отрезках или лучах (например, ). В этом случае определение 1 неприменимо для граничных точек области определения функции. Если мы всё-таки хотим сказать, что функция непрерывна в такой точке (а мы скоро захотим), нам нужно будет использовать определение односторонней непрерывности.Аналогично определяется непрерывность слева.
13.1.3Какие функции непрерывны
Неформально говоря, условие непрерывности означает, что если не сильно отличается от , значение функции не сильно отличается от . Это очень важное условие с практической точки зрения: как правило, мы не знаем точных значений никаких величин. Если бы интересующие нас функции не были непрерывными, мы бы мало что могли сказать о их значениях. Пусть мы хотим вычислить , но знаем величину лишь с какой-то точностью. Иными словами, мы знаем на самом деле величину , и знаем, что расстояние от неё до маленькое. Если не является непрерывной в точке , посчитав её значение в точке , мы бы не получили никакой информации о значениях этой же функции в точке , сколь бы близким ни было к .Например, все вычисления на компьютере с вещественными числами происходят с некоторыми погрешностями: компьютер не может запомнить бесконечное число цифр после запятой, и постоянно прибегает к округлениям. Если бы не непрерывность, компьютерные вычисления были бы в основном бессмысленными.
Поэтому очень важно понимать, какие функции являются непрерывными, и в каких случаях непрерывность может нарушаться. К счастью, те функции, которые нас интересуют, часто являются непрерывными на своей области определения.
- функция непрерывна в ;
- функция непрерывна в ;
- функция непрерывна в если .
Остальные утверждения доказываются аналогично.∎
- Многочлены, то есть функции вида
- Рациональные функции, то есть функции вида
На семинарах мы также докажем непрерывность синуса, косинуса, тангенса, экспоненты, логарифма, квадратного корня на всей области определения. Ниже мы докажем ещё одну важную теорему — о непрерывности композиции — но пока давайте поговорим, что бывает, когда непрерывность нарушается.
13.2Разрывы
Какими бывают разрывы? Тут принята такая немножко условия классификация.
13.2.1Разрывы первого рода
Если односторонние пределы существуют, они могут совпадать, а могут не совпадать. Если они совпадают (и равны какому-то числу ), существует предел и тоже равен числу . (См. упражнение 3 из лекции 10.) Поскольку функция не является непрерывной в , либо не определено, либо . Такой тип разрывов называется устранимым: достаточно «отредактировать» (доопределить или переопределить) значение функции в единственной точке , чтобы она стала непрерывной, то есть разрыв был бы устранён.
Если односторонние пределы существуют, но различны, такой разрыв называется скачком.
13.2.2Разрывы второго рода
Любые разрывы, не являющиеся разрывами первого рода, называются разрывами второго рода (неожиданно, правда?)Какими они бывают?
Может статься, что предел при не существует, но при этом равен бесконечности (вы ведь помните, что когда предел равен бесконечности, он не существует?). Такие разрывы мы будем называть полюсами.
Всё остальное будем называть существенными разрывами. (Тут терминология может быть не очень однозначной и разные источники могут вкладывать несколько разный смысл. Например, можно считать полюсом любой разрыв с вертикальной асимптотой. Но мы будем придерживаться этих определений.)
13.3Непрерывность композиции
13.3.1Сложные функции
Мы часто сталкиваемся функциями, заданными выражениями вида . Чтобы вычислить значение такой функции в какой-то точке, нужно сначала вычислить значение функции в этой точке, и подставить результат в функцию «квадратный корень». Можно сказать, что , где определена выше, а . Поскольку в функцию подставляется не , а значение функции , я использую другую букву в качестве аргумента — чтобы не путаться.13.3.2Предел сложной функции
Мы бы хотели доказать утвердение, кратко формулируемое как «композиция непрерывных функций непрерывна». Это позволит нам доказывать непрерывность разнообразных функций, заданных формулами. Чтобы это сделать, нам сперва придётся доказать теорему о пределе сложной функции. И тут надо быть осторожным.Хочется ответить утвердительно. Действительно, если , согласно первому пределу (13.3), становится близок к . В третьем пределе (13.5) мы подставляем именно , а из второго предела следует, что если аргумент функции близок к , то значение близко к . Казалось бы, что может пойти не так?
Верный ответ. Утверждение (13.4) говорит, что становится близок к , если близок к , но не равен . В нашем случае равен во всех точках. Вместе с нарушением непрерывности функции , это приводит к проблеме.
Теперь сформулируем правильное утверждение.
Нам дано. Первый предел:
Надо доказать.
Выбор . Согласно (13.10), мы можем добиться, чтобы был -близок к , если потребуем, чтобы был -близок к . Чтобы значение было -близким к , достаточно в (13.9) положить и потребовать, чтобы лежал в соответствующей -окрестности точки . В этом случае и мы победили.
Итак, искомая задаётся следующим образом:
Неверный ответ. Разве всюду непрерывна?
Неверный ответ. Думаете, только в нуле? В этом выражении больше, чем один знаменатель.
Верный ответ. Верно! Во-первых, в точке . Во-вторых, во всех точках, где обнуляется , то есть во всех , .