13Непрерывность

Рассмотрим функцию

f (x) = x^{2} + 3 x + 1

. Чему равен её предел при

x \to x_{0}

? С помощью арифметики пределов легко показать, что он равен

x_{0}^{2} + 3 x_{0} + 1

, то есть значению функции

f

в точке

x_{0}

. Мы обсуждали (см. пример 10 из лекции 10), что это не всегда так работает. Однако, случай, когда работает, очень важен, и имеет специальное название.

13.1Непрерывность функции в точке

13.1.1Определение непрерывности

Определение 1. Пусть функция

f

определена в некоторой окрестности точки

x_{0}

(включая саму точку

x_{0}

). Говорят, что

f

непрерывна в точке

x_{0}

, если предел

f (x)

при

x \to x_{0}

равен значению функции в этой точке:

\begin{matrix} lim x \to x_{0} f (x) = f (x_{0}) . \\ (13.1) \end{matrix}

Как видно из этого определения, чтобы функция была непрерывной в некоторой точке, она должна как минимум быть определена в этой точке и иметь в ней предел. Если какое-то из этих условий нарушается, функция не является непрерывной автоматически. Наконец, может статься, что и значение функции в точке $x_{0}$ есть, и предел есть, но они не равны друг другу. В этом случае функция также не является непрерывной в точке $x_{0}$ .

Условие (13.1) можно переписать в кванторах:

\forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall x : 0 < | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < ε .

В условии на

x

как обычно в определении предела записана проколотая окрестность. Но что будет, если

x = x_{0}

? В этом случае условие после знака импликации превращается в

| f (x_{0}) - f (x_{0}) | < ε

. В левой части стоит ноль, поэтому это условие всегда выполнено. Таким образом, условие непрерывности можно записать таким образом:

\begin{matrix} \forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall x : | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < ε . \\ (13.2) \end{matrix}

Упражнение 1. Докажите, что функция

f

непрерывна в точке

x_{0}

тогда и только тогда, когда выполняется следующее утверждение: для всякой последовательности

{x_{n}}

, стремящейся к

x_{0}

f (x_{n})

стремится к

f (x_{0})

. Иными словами, в определении предела по Гейне в этом случае можно убрать требование

x_{n} \neq x_{0}

для всех

n

13.1.2Односторонняя непрерывность

Чтобы говорить о непрерывности функции в точке, нам нужно, чтобы функция была определена в окрестности этой точки. Но часто бывает, что функции определены на каких-то отрезках или лучах (например,

x \geq 0

). В этом случае определение 1 неприменимо для граничных точек области определения функции. Если мы всё-таки хотим сказать, что функция непрерывна в такой точке (а мы скоро захотим), нам нужно будет использовать определение односторонней непрерывности.

Определение 2. Пусть функция

f

определена в некоторой правой полуокрестности точки

x_{0}

, включая саму точку

x_{0}

(то есть на некотором полуинтервале

[x_{0}, x_{0} + δ)

δ > 0

. Говорят, что

f

непрерывна справа в точке

x_{0}

, если предел

f (x)

при

x \to x_{0}^{+}

равен значению функции в этой точке:

lim x \to x_{0}^{+} f (x) = f (x_{0}) .

Аналогично определяется непрерывность слева.

Определение 3. Пусть

A \subset D (f)

— некоторое подмножество области определения функции. Если функция

f

непрерывна для всякого

x \in A

, мы будем говорить, что

f

непрерывна на

A

. Если

A

— отрезок или луч, мы как правило будем требовать лишь соответствующую одностороннюю непрерывность на его концах.

13.1.3Какие функции непрерывны

Неформально говоря, условие непрерывности означает, что если

x

не сильно отличается от

x_{0}

, значение функции

f (x)

не сильно отличается от

f (x_{0})

. Это очень важное условие с практической точки зрения: как правило, мы не знаем точных значений никаких величин. Если бы интересующие нас функции не были непрерывными, мы бы мало что могли сказать о их значениях. Пусть мы хотим вычислить

f (x_{0})

, но знаем величину

x_{0}

лишь с какой-то точностью. Иными словами, мы знаем на самом деле величину

x_{1}

, и знаем, что расстояние от неё до

x_{0}

маленькое. Если

f

не является непрерывной в точке

x_{0}

, посчитав её значение в точке

x_{1}

, мы бы не получили никакой информации о значениях этой же функции в точке

x_{0}

, сколь бы близким

x_{1}

ни было к

x_{0}

Например, все вычисления на компьютере с вещественными числами происходят с некоторыми погрешностями: компьютер не может запомнить бесконечное число цифр после запятой, и постоянно прибегает к округлениям. Если бы не непрерывность, компьютерные вычисления были бы в основном бессмысленными.

Поэтому очень важно понимать, какие функции являются непрерывными, и в каких случаях непрерывность может нарушаться. К счастью, те функции, которые нас интересуют, часто являются непрерывными на своей области определения.

Утверждение 1. Пусть функции

f

g

непрерывны в точке

x_{0}

. Тогда

функция $h (x) = f (x) + g (x)$ непрерывна в $x_{0}$ ;
функция $u (x) = f (x) g (x)$ непрерывна в $x_{0}$ ;
функция $v (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ непрерывна в $x_{0}$ если $g (x_{0}) \neq 0$ .

Доказательство. Эта утверждение является мгновенным следствием из арифметики пределов. Например, пусть

h (x) = f (x) + g (x)

. Докажем, что

h

непрерывна в

x_{0}

lim x \to x_{0} h (x) = lim x \to x_{0} (f (x) + g (x)) = lim x \to x_{0} f (x) + lim x \to x_{0} g (x) = f (x_{0}) + g (x_{0}) = h (x_{0}) .

Мы применили арифметику пределов (третье равенство) и условие непрерывности

f

g

(предпоследнее равенство).

Остальные утверждения доказываются аналогично.∎

Следствие. Из утверждения 1 мгновенно следует, что

Многочлены, то есть функции вида
$P (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$
непрерывны на всём множестве вещественных чисел.
Рациональные функции, то есть функции вида
$R (x) = \frac{P (x)}{Q (x)},$
где $P (x)$ и $Q (x)$ — многочлены, являются непрерывными на всей области определения (то есть при таких $x$ , при которых знаменатель не обнуляется).

На семинарах мы также докажем непрерывность синуса, косинуса, тангенса, экспоненты, логарифма, квадратного корня на всей области определения. Ниже мы докажем ещё одну важную теорему — о непрерывности композиции — но пока давайте поговорим, что бывает, когда непрерывность нарушается.

13.2Разрывы

Определение 4. Пусть функция

f

определена в некоторой проколотой окрестности точки

x_{0}

, но не является непрерывной в

x_{0}

. Тогда мы скажем, что она терпит разрыв в этой точке.

Какими бывают разрывы? Тут принята такая немножко условия классификация.

13.2.1Разрывы первого рода

Определение 5. Пусть функция

f

не является непрерывной в точке

x_{0}

, но существуют односторонние пределы

{lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x)

{lim}_{x \to x_{0}^{-}}

. Тогда разрыв в точке

x_{0}

называется разрывом первого рода — по крайней мере, такой термин принят в русскоязычной литературе.

Если односторонние пределы существуют, они могут совпадать, а могут не совпадать. Если они совпадают (и равны какому-то числу $b$ ), существует предел ${lim}_{x \to x_{0}} f (x)$ и тоже равен числу $b$ . (См. упражнение 3 из лекции 10.) Поскольку функция не является непрерывной в $x_{0}$ , либо $f (x_{0})$ не определено, либо $f (x_{0}) \neq b$ . Такой тип разрывов называется устранимым: достаточно «отредактировать» (доопределить или переопределить) значение функции $f$ в единственной точке $x_{0}$ , чтобы она стала непрерывной, то есть разрыв был бы устранён.

Если односторонние пределы существуют, но различны, такой разрыв называется скачком.

Пример 1. Рассмотрим функцию

f (x) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x, & x < - 1; - x, & - 1 \leq x < 2; 5, & x = 2; x^{2}, & x > 2. \end{matrix}

Она является непрерывной во всех точках, кроме

- 1

2

, в точке

- 1

у неё разрыв типа «скачок», а в точке

2

— устранимый разрыв.

13.2.2Разрывы второго рода

Любые разрывы, не являющиеся разрывами первого рода, называются разрывами второго рода (неожиданно, правда?)

Какими они бывают?

Может статься, что предел $f (x)$ при $x \to x_{0}$ не существует, но при этом равен бесконечности (вы ведь помните, что когда предел равен бесконечности, он не существует?). Такие разрывы мы будем называть полюсами.

Всё остальное будем называть существенными разрывами. (Тут терминология может быть не очень однозначной и разные источники могут вкладывать несколько разный смысл. Например, можно считать полюсом любой разрыв с вертикальной асимптотой. Но мы будем придерживаться этих определений.)

Пример 2. Рассмотрим функцию

f (x) = e^{1 / x}

. Когда

x \to 0^{+}

1 / x \to + \infty

e^{1 / x} \to + \infty

. Однако при

x \to 0^{-}

1 / x \to - \infty

e^{1 / x} \to 0

. Получается существенный разрыв.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

def f(x):
    return np.exp(1 / x)
x = np.linspace(-2.7, 2.7, 211)
plt.figure(figsize=(4, 4))

plt.plot(x, f(x), label='$y=e^{1/x}$')

plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-2.7, xmax=2.7, ymin=-0.7, ymax=4.7, 
               xlabel="x", ylabel="y", axlabelshift=1.3) 
plt.xticks([])
plt.yticks([])

Рис. 13.1: Функция

y = e^{1 / x}

имеет существенный разрыв в точке

x = 0

Пример 3. Рассмотрим функцию

f (x) = sin (π / x)

. Как обсуждалось в примере 12 из лекции 10, у неё нет предела при

x \to 0

, поскольку в любой окрестности нуля она может принимать различные значения (например,

0

1

- 1

). Это означает, что в нуле она терпит разрыв. Поскольку функция является ограниченной, она не может стремиться к бесконечности, и значит это существенный разрыв (хотя, пожалуй, он и не похож на то, что хочется себе представить, когда слышишь слово «разрыв»).

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

def f(x):
    return np.sin(np.pi / x)
x = np.linspace(-2.7, 2.7, 50011)
x[abs(x) < 0.03] = np.nan
plt.figure(figsize=(8, 3))

plt.plot(x, f(x), label=r'$y=\sin (\pi/x)$', lw=1)

plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-2.7, xmax=2.7, ymin=-1.2, ymax=1.2, 
               xlabel="x", ylabel="y", axlabelshift=1.3) 
plt.xticks([])
plt.yticks([])

Рис. 13.2: Функция

f (x) = sin π / x

имеет существенный разрыв в точке

x = 0

13.3Непрерывность композиции

13.3.1Сложные функции

Мы часто сталкиваемся функциями, заданными выражениями вида

h (x) = \sqrt{x^{2} + 1}

. Чтобы вычислить значение такой функции в какой-то точке, нужно сначала вычислить значение функции

f (x) = x^{2} + 1

в этой точке, и подставить результат в функцию «квадратный корень». Можно сказать, что

h (x) = g (f (x))

, где

f (x)

определена выше, а

g (y) = \sqrt{y}

. Поскольку в функцию

g (y)

подставляется не

x

, а значение функции

f (x)

, я использую другую букву в качестве аргумента

g

— чтобы не путаться.

Замечание 1. Если бы я написал

g (x) = \sqrt{x^{2} + 1}

, это было бы ошибкой. Тогда было бы верно

g (f (x)) = g (x^{2} + 1) = \sqrt{(x^{2} + 1)^{2} + 1}

, и это совсем не то, что мы хотим.

Определение 6. Функция

h (x) = g (f (x))

называется композицией или суперпозицией функций

f

g

, или сложной функцией. Часто пишут так:

h (x) = (g \circ f) (x)

. Функции в композиции применяются «справа налево»: сначала

x

подставляется в

f

, потом результат подставляется в

g

13.3.2Предел сложной функции

Мы бы хотели доказать утвердение, кратко формулируемое как «композиция непрерывных функций непрерывна». Это позволит нам доказывать непрерывность разнообразных функций, заданных формулами. Чтобы это сделать, нам сперва придётся доказать теорему о пределе сложной функции. И тут надо быть осторожным.

Вопрос 1. Пусть

\begin{matrix} lim x \to x_{0} f (x) = y_{0} \\ (13.3) \end{matrix}

\begin{matrix} lim y \to y_{0} g (y) = b . \\ (13.4) \end{matrix}

Верно ли, что

\begin{matrix} lim x \to x_{0} g (f (x)) = b ? \\ (13.5) \end{matrix}

Хочется ответить утвердительно. Действительно, если $x \to x_{0}$ , согласно первому пределу (13.3), $f (x)$ становится близок к $y_{0}$ . В третьем пределе (13.5) мы подставляем $g$ именно $f (x)$ , а из второго предела следует, что если аргумент функции $g$ близок к $y_{0}$ , то значение $g$ близко к $b$ . Казалось бы, что может пойти не так?

Пример 4. Пусть

g (x) = {\begin{matrix} 1 & x = 0, 3 & x \neq 0 \end{matrix}

f (x) = 0

для всех

x

. Тогда

lim x \to 2 f (x) = 0

lim y \to 0 g (y) = 3.

Рассмотрим предел

lim x \to 2 g (f (x)) .

Поскольку

g (f (x)) = g (0) = 1

при всех

x

, этот предел равен

1

и не равен

3

. Таким образом, утверждение (13.5) в этом случае неверно.

Вопрос 2. В чём проблема? Где мы ошиблись в неформальном рассуждении?

Узнать ответ.

Верный ответ. Утверждение (13.4) говорит, что $g (y)$ становится близок к $b$ , если $y$ близок к $y_{0}$ , но не равен $y_{0}$ . В нашем случае $f (y)$ равен $y_{0} = 0$ во всех точках. Вместе с нарушением непрерывности функции $g (y)$ , это приводит к проблеме.

Теперь сформулируем правильное утверждение.

Теорема 1. Пусть

\begin{matrix} lim x \to x_{0} f (x) = y_{0} \\ (13.6) \end{matrix}

\begin{matrix} lim y \to y_{0} g (y) = g (y_{0}), \\ (13.7) \end{matrix}

то есть функция

g (y)

непрерывна в точке

y_{0}

Тогда

\begin{matrix} lim x \to x_{0} g (f (x)) = g (lim x \to x_{0} f (x)) = g (y_{0}) . \\ (13.8) \end{matrix}

Доказательство. Запишем всё в кванторах.

Нам дано. Первый предел:

\begin{matrix} \forall ε_{1} > 0 \exists δ_{1} = δ_{1} (ε_{1}) > 0 \forall x : 0 < | x - x_{0} | < δ_{1} \Rightarrow | f (x) - y_{0} | < ε_{1} . \\ (13.9) \end{matrix}

Второй предел:

\begin{matrix} \forall ε_{2} > 0 \exists δ_{2} = δ_{2} (ε_{2}) > 0 \forall y : | y - y_{0} | < δ_{2} \Rightarrow | g (y) - g (y_{0}) | < ε_{2} . \\ (13.10) \end{matrix}

Здесь в определении предела мы убрали требование проколотости окрестности в силу непрерывности функции

g

в точке

y_{0}

(см. (13.2)).

Надо доказать.

\forall ε > 0 \exists δ = δ (ε_{1}) > 0 \forall x : 0 < | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | g (f (x)) - g (y_{0}) | < ε .

Выбор $δ (ε)$ . Согласно (13.10), мы можем добиться, чтобы $g (y)$ был $ε$ -близок к $g (y_{0})$ , если потребуем, чтобы $y$ был $δ_{2} (ε)$ -близок к $y_{0}$ . Чтобы значение $f (x)$ было $δ_{2} (ε)$ -близким к $y_{0}$ , достаточно в (13.9) положить $ε_{1} = δ_{2} (ε)$ и потребовать, чтобы $x$ лежал в соответствующей $δ_{2}$ -окрестности точки $x_{0}$ . В этом случае $| f (x) - y_{0} | < ε_{1} = δ_{2} (ε)$ и мы победили.

Итак, искомая $δ$ задаётся следующим образом:

δ (ε) := δ_{1} (δ_{2} (ε)) .

Как показано выше, эта

δ

сработает, и теорема доказана.∎

Следствие 1. Пусть функция

f

непрерывна в точке

x_{0}

, а функция

g

непрерывна в точке

f (x_{0})

. Тогда функция

h (x) = g (f (x))

непрерывна в точке

x_{0}

Доказательство. Предел

lim x \to x_{0} h (x) = lim x \to x_{0} g (f (x))

удовлетворяет условию теоремы. Значит,

lim x \to x_{0} g (f (x)) = g (lim x \to x_{0} f (x)) = g (f (x_{0})) = h (x_{0}),

то есть

h (x)

непрерывна в точке

x_{0}

.∎

Пример 5. Докажем, что функция

f (x) = sin (e^{x^{2} + cos x})

непрерывна на всём

R

. Действительно,

cos x

x^{2}

непрерывны, а значит их сумма непрерывна. Экспонента непрерывна и её аргумент непрерывен, значит, аргумент синуса непрерывен. И синус непрерывен. Значит, и вся функция непрерывна.

Вопрос 3. В скольких точках функция

f (x) = \frac{1}{sin π / x}

терпит разрывы?

Ни в одной — это композиция непрерывных функций!

Неверный ответ. Разве $π / x$ всюду непрерывна?

В одной точке.

Неверный ответ. Думаете, только в нуле? В этом выражении больше, чем один знаменатель.

В бесконечном количестве точек.

Верный ответ. Верно! Во-первых, в точке $x = 0$ . Во-вторых, во всех точках, где обнуляется $sin π / x$ , то есть во всех $x = 1 / k$ , $k \in Z$ .

Упражнение 2. Докажите следующее утверждение. Пусть в теореме 1 условие непрерывности функции

g

в точке

y_{0}

не выполняется, но зато выполняется другое условие: существует такая проколотая окрестность точки

x_{0}

, что в этой окрестности

f (x) \neq y_{0}

. Тогда (13.8) всё равно выполняется.

13.4Заключение

Непрерывность — первое важное «хорошее» свойство функций на нашем пути. К счастью, обычно функции, задаваемые формулами, непрерывны на своей области определения. Нарушения непрерывности как правило связаны либо с обнулением знаменателей, либо с разрывами кусочно заданных функций (как в примере 1). Для аккуратного анализа функции на непрерывность нужно использовать теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного и композиции функций. На следующей лекции мы обсудим, чем так хороши непрерывные функции.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Математический анализ Записки лекций

13Непрерывность

13.1Непрерывность функции в точке

13.1.1Определение непрерывности

13.1.2Односторонняя непрерывность

13.1.3Какие функции непрерывны

13.2Разрывы

13.2.1Разрывы первого рода

13.2.2Разрывы второго рода

13.3Непрерывность композиции

13.3.1Сложные функции

13.3.2Предел сложной функции

13.4Заключение

Математический анализ
Записки лекций