14Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывность функции в некоторой точке, которую мы обсуждали на прошлой лекции — это её локальное свойство — оно характеризует, как функция ведёт себя близко к этой точке. Сегодня мы поговорим о том, какими глобальными свойствами обладают непрерывные функции.

14.1Определение и примеры

Определение 1. Рассмотрим функцию . Пусть есть некоторый отрезок , принадлежащий области определения этой функции. Скажем, что функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала , а на концах выполняется условие односторонней непрерывности: в точке функция непрерывна справа, а в слева.

Пример 1. Рассмотрим функцию
Она непрерывна на отрезке , но не является непрерывной в точках и .

Вопрос 1. Является ли эта функция непрерывной на отрезке ?
  Да

Неверный ответ. К чему стремится значение функции когда ? Чему равно значение функции в точке ?

  Нет

Верный ответ. Верно, условие односторонней непрерывности слева в точке нарушается.

Пример 2. Рассмотрим функцию
Она является непрерывной на интервале , но не является непрерывной на отрезке .

14.2Ограниченность

Теорема 1. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда она ограниченна на этом отрезке.

Замечание. Давайте рассмотрим такое «доказательство» этого факта. Поскольку непрерывна на отрезке, она имеет предел в каждой точке отрезка. Если функция имеет предел в некоторой точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки (см. теорему 1 из лекции 12). Поскольку это верно для всех точек отрезка, получается, что функция ограничена вблизи любой точки, и значит ограничена на всём отрезке.

Это доказательство неверно. В частности, мы нигде не используем тот факт, что работаем именно на отрезке, а не, скажем, на интервале. При этом, как показывает пример 2, функция может быть непрерывной на интервале, но при этом не быть ограниченной на этом интервале.

Вопрос 2. В чём проблема с этим рассуждением, почему оно не работает?
  Узнать ответ

Верный ответ. Дело в том, что для разных точек мы получаем разные окрестности, и в каждой окрестности число , которое ограничивает модуль функции, своё. Этих точек и их окрестностей бесконечно много, и среди них может быть невозможно выбрать одно универсальное значение , которое обслуживало бы сразу все окрестности.

Доказательство. Мы хотим доказать, что найдётся такое , что для всех выполняется неравенство . Докажем от противного. Пусть это не так. Тогда для всякого найдётся такое , что .

Построим последовательность следующим образом. Положим и пусть . Тогда для всех выполняется неравенство .

Последовательность является ограниченной, поскольку для всех выполняются неравенства

По теореме Больцано — Вейерштрасса, из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, то есть существует такая последовательность натуральных чисел и такое число , что . По теореме о предельном переходе в неравенствах, примененной к неравенствам (14.1), имеем:
то есть также лежит на отрезке . Поскольку значения не меньше (по построению последовательности ), и стремится к бесконечности при , значения также стремятся к бесконечности при .

Функция определена в точке (поскольку она определена на всём отрезке ) и непрерывна в этой точке. Значит, её предел при существует (может быть односторонний, если совпадает с граничными точками или ) и равен . Но и по определению предела по Гейне, это означает, что . (Из-за непрерывности функции в точке в определении предела по Гейне можно убрать требование о том, чтобы последовательность не посещала точку , см. упражнение 1 из предыдущей лекции.) Но и значит этот предел не может существовать. Противоречие!

Вопрос 3. Где в этом доказательстве мы воспользовались тем, что имеем дело именно с отрезком, а не, например, с интервалом? Иными словами, где доказательство «сломается», если мы попробуем с его помощью доказать, что функция ограничена на интервале (что неверно).
  Узнать ответ

Верный ответ. Ключевой шаг состоит в предельном переходе в неравенстве (14.1). Если взять интервал вместо отрезка, может ему не принадлежать: строгие неравенства при предельном переходе превращаются в нестрогие.

14.3Теорема о корне

Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , а на концах отрезка принимает значения разных знаков: это можно записать как (произведение чисел отрицательно тогда и только тогда, когда эти числа имеют разные знаки). Тогда существует точка , являющаяся корнем функции , то есть такая точка, что .

Замечание. Эта теорема выглядит достаточно очевидной, если посмотреть на график. Пусть, например, и . График функции начинается в точке ниже горизонтальной оси, а заканчивается в точке выше её. Поскольку функция непрерывна, её график выглядит как линия, которую можно провести, не отрывая карандаша от бумаги (примерно так определяют непрерывные функции в школе). Визуально кажется очевидным, что он обязан пересечь горизонтальную прямую, иначе никак не добраться из нижней половины плоскости в верхнюю. Однако, для аккуратного доказательства нам придётся опираться не (только) на геометрическую интуицию, а на определения.

Доказательство. Доказательство очень похоже на доказательство теоремы Больцано — Вейерштрасса. Попробуем поймать наш корень в ловушку. Пусть — середина отрезка , который мы обозначим через . Если , положим , и всё доказано. Пусть теперь . Тогда знак не совпадает либо со знаком , либо со знаком (потому что знаки и разные — если совпадает с одним, значит, не совпадает с другим). Положим , если знаки и разные, и в противном случае. Тогда на концах отрезка функция гарантированно принимает значения разных знаков, и с ним можно повторить ту же процедуру: разделить отрезок пополам, обозначить середину за , если , всё доказано, если нет, выбрать ту из половинок, на концах которой функция принимает значения разных знаков, обозначить её за и т.д.

Если этот процесс никогда не прекратится (то есть ни одна из точек не является корнем), мы получим бесконечную последовательность вложенных отрезков , длины которых стремятся к нулю.

Значит, по лемме о вложенных отрезках 1, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам, и она является пределом последовательностей концов этих отрезков. Пусть , то есть мы обозначили левый конец через , а правый через . Тогда

Кроме того, мы знаем, что для всех натуральных функция принимает разные знаки на концах , и следовательно . Сделаем предельный переход в этом неравенстве при . Имеем:
С другой стороны, согласно определению предела по Гейне и исходя из непрерывности функции ,
По теореме о пределе произведения отсюда следует, что
Таким образом, . Но квадрат любого вещественного числа неотрицателен! Значит, единственная альтернатива — . Значит, — искомый корень.

Замечание. Когда мы учимся, если нам нужно решить уравнение, как правило, наши преподаватели позаботились о том, чтобы уравнение действительно решалось, причём именно теми методами, которые мы знаем. На практике, однако, так бывает далеко не всегда: как правило уравнения не решаются явно. А решать их надо. Тогда в ход идут численные методы, позволяющие находить приближенные решения различных математических задач, как правило, с помощью компьютера. Приведенное доказательство замечательно тем, что не просто позволяет навести строгость на и без того понятный факт, а даёт конкретный алгоритм отыскания корня с любой точностью. Он называется методом бисекции отрезка. Вы можете легко запрограммировать его на любом известном вам языке программирования, и решить какое-нибудь заведомо нерешаемое уравнение (например, ).

Замечание. Теорема, которую мы доказали, говорит о том, что корень существует, но ничего не говорит о его единственности. Конечно, корней может быть больше, чем один.

Теорема 3. (Теорема о промежуточном значении) Пусть непрерывна на отрезке . Тогда для всякого , лежащего между и , найдётся такой , что .

Эта теорема является следствием из теоремы о корне, доказательство оставим в качестве упражнения для семинаров.

14.4Заключение

Мы обсудили два важных свойства функций, непрерывных на отрезке. Это первый в нашем курсе пример перехода от локальных свойств функции, выражающихся в терминах пределов, к каким-то глобальным свойствам. В дальнейшем мы ещё не раз столкнёмся с аналогичными задачами. Отметим также, что хорошие свойства непрерывных функций этими двумя не исчерпываются, и мы ещё к ним вернёмся.