21Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Допустим, мы знаем значение функции в какой-то точке , а хотим узнать её значение в точке . Если мы ничего знаем про функцию дополнительно, дело это безнадёжное: может равняться чему угодно, даже если близко к . Например, функция Дирихле принимает значения и в сколь угодно близких точках. Однако, если потребовать, чтобы обладало какими-нибудь хорошими свойствами, задача становится не столь бессмысленной. Об этом мы и поговорим. Но сперва нужно ввести некоторые обозначения.

21.1o-символика

21.1.1Определение -малого

Пусть функцию дифференцируема в точке . Тогда, как мы знаем, справедливо утверждение о линейном приближении:
где при . Иными словами, выражение не просто маленькое при близком к , а оно маленькое по сравнению с разностью .

В дальнейшем нам пригодится более компактное обозначение для функций, которые являются маленькими по сравнению с какими-то другими функциями.

Определение 1. Говорят, что функция является -маленьким (или -малым) от функции при если и определены в некоторой проколотой окрестности точки , в этой окрестности не обращается в ноль и
Неформально это означает, что становится во сколько угодно раз меньше при .

Пример 1. Функция является -маленьким от при , поскольку

Пример 2. Функция является -маленьким от функции при , поскольку
Мы воспользовались тем, что произведение ограниченной функции и стремящейся к нулю стремится к нулю.

Пример 3. Функция не является -маленьким от функции при , поскольку
(Это первый замечательный предел.)

Пример 4. Функция не является -маленьким от функции при , поскольку предел
не существует.

Вопрос 1. Является ли функция -маленьким от функции при ?
  Да

Верный ответ. Действительно,

  Нет.

Неверный ответ. А если посчитать предел, что получается?

Замечание 1. На письме утверждение « есть -маленькое от при » записывают так:
Однако, нужно понимать, что это не равенство в привычном смысле. Например, из того факта, что и не следует, что , чего мы могли бы ожидать от обычного равенства. Правильнее было говорить, что есть множество функций, которые обладают свойством (21.2), и записывать
однако исторически сложилась запись с равенством, и мы будем её придерживаться.

Замечание 2. Запись
означает, что
или, иными словами, найдётся такая функция , являющаяся -маленьким от , что

21.1.2Свойства -малого

Можно сформулировать и доказать много разных утверждений про свойства -малых, следующих из определения и свойств пределов. Например:

Утверждение 1. Пусть и . Тогда . Это можно записать короче так:
В этом равенстве -малые есть и справа и слева — на самом деле, правильно было бы записать так:
то есть для любого способа выбрать конкретные функции на место в левой части найдётся функция справа, которая будет .

Доказательство. Проверим, что . Действительно:
по теореме о пределе суммы.

Утверждение 2. Пусть и . Тогда .

Доказательство. Действительно,

На семинаре будут обсуждаться и другие свойства такого типа. Для тренировки можете придумать как можно больше верных свойств -малых и доказать их.

21.2Приближение функций

21.2.1Непрерывность и дифференцируемость

Итак, пусть мы знаем значение функции в точке , а нас интересует значение в точке . Будем считать, что близко к .

Если мы знаем, что непрерывна, это означает, что , то есть значения в близких точках близки к значению . Значит можно записать:

Если вы ничего не знаете про моделирование погоды и хотите узнать, какую погоду ждать завтра, самый лучший ответ, который вы можете дать — примерно такую же, как сегодня.

Знак приближенного равенства не имеет строгого смысла и не может использоваться в доказательствах. Однако, мы можем использовать -символику, чтобы сформулировать аккуратное утверждение про непрерывность:

где — это функция, являющаяся -маленьким от при . По определению, — это такая функция, которая при делении на единицу стремится к нулю, а поскольку деление на единицу ничего не меняет — она сама стремится к нулю. Иными словами, равенство (21.3) — это просто другой способ сказать, что функция непрерывна в точке .

В общем, если мы знаем, что функция непрерывна, и больше ничего, то лучшее, что мы можем сделать — это приблизить её константой, функцией .

Пусть теперь мы знаем, что не только непрерывна в , но и дифференцируема, и, более того, мы знаем её производную в этой точке. Тогда справедливо равенство (21.1), которое может может быть записано в виде:

где — это какая-то функция, являющаяся -маленьким от при . Действительно, если поделить на , получится , а про неё мы знаем, что она стремится к нулю при .

В приближении (21.4) мы заменяем функцию не на константу, как в (21.3), а на линейную функцию, и говорим, что разница между настоящей функцией и её линейным приближением будет не просто маленькой при (это было верно и в (21.3)), но маленькой по сравнению с . Иными словами, воспользовавшись дополнительной информацией (дифференцируемосью и знанием производной), мы получили лучшее приближение для функции.

Можем ли мы продолжить этот процесс? Оказывается, да.

21.2.2Многочлен Тейлора второй степени

Обозначим правые части равенств (21.3) и (21.4) без -малых через и соответственно: Введённые нами функции и являются многочленами соответственно нулевой и первой степени. У в точке такое же значение, как у , а у не только такое же значение, но и такая же производная:
Пусть теперь мы знаем, что функция имеет не только первую, но и вторую производную в точке , и знаем эту производную. Хотим найти многочлен второй степени, который бы имел в точке такое же значение и такие же производные, как , то есть хотим, чтобы выполнялись равенства
Как этого добиться? Пусть
где — какая-то константа. Видно, что каким бы ни было , и
и значит . Таким образом, первые два условия выполняются автоматически. Осталось выбрать такое , чтобы выполнялось и третье условие:
Значит . Таким образом,

Пример 5. Пусть . Тогда и . Пусть . Построим , и : Посмотрим на графики и , и , см. рис. 21.1. График пересекается с горизонтальной прямой в точке и касается прямой в той же точке. Парабола также касается графика , причём ещё «плотнее», чем это делает — в точках, близких к , она лучше приближает график нашей функции.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

def f(x):
    return np.log(x) + 2
def T0(x):
    return np.ones_like(x) * 2
def T1(x):
    return 2 + (x - 1)
def T2(x):
    return 2 + (x - 1) - (x - 1) ** 2 / 2

x = np.linspace(-0.05, 3.7, 211)
plt.figure(figsize=(6, 5))
plt.plot(x, f(x), label='$y=f(x)$', lw=2)
plt.plot(x, T0(x), label='$y=T_0(x)$', lw=1)
plt.plot(x, T1(x), label='$y=T_1(x)$', lw=1)
plt.plot(x, T2(x), label='$y=T_2(x)$', lw=1)
plt.legend(loc=4)

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.2, xmax=3.7, ymin=-1.2, ymax=2.8, 
               xlabel="x", ylabel="y") 
Рис. 21.1: Нулевое, первое и второе приближение логарифма

Построенные нами многочлены , и называются многочленами Тейлора. Как видно из построения и примера 5, многочлен Тейлора первой степени — это просто функция, задающая касательную, а многочлен Тейлора второй степени обобщает понятие касательной: вместо приближения графика прямой линией мы приближаем его параболой, и за счёт этого можем получить лучшую точность приближения.

21.2.3Тейлоровские многочлены в общем виде

Процесс построения многочленов Тейлора можно продолжать. Пусть функция имеет -ю производную в точке (и, стало быть, все производные меньших порядков тоже).

Определение 2. Построим многочлен где — это -я производная функции , нулевая производная — это сама функция, .

Этот многочлен называется многочленом Тейлора степени для функции в окрестности точки .

Утверждение 3. Для всех :

Доказательство. Утверждение проверяется непосредственно дифференцированием. Поскольку при каждом дифференцировании степень монома уменьшается на единицу, при -кратном дифференцировании все слагаемые степени меньше превращаются в ноль. Все слагаемые степени больше будут иметь вид для каких-то чисел и . При подстановке они обнулятся. Значит, останется только слагаемое степени . В результате каждого дифференцирования степень уменьшается на единицу и сносится коэффициентом рядом с соответствующим слагаемым. После дифференцирований коэффициент будет равен и он сократится с в знаменателе. Останется , что и требовалось получить.

21.2.4Остаточный член в форме Пеано

До сих пор мы просто формально строили какие-то многочлены, ничего не говоря о том, как он будет соотноситься с исходной функцией , по которой он строился. Настало время это исправить.

При построении каждого следующего тейлоровского многочлена мы используем всё больше и больше информации про функцию : значение, производную, вторую производную, третью производную и т.д. Разумно ожидать, что многочлены больших степеней будут приближать нашу функцию всё лучше и лучше. Есть разные способы это формализовать. Сейчас мы сформулируем один из них.

Теорема 1. (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано) Пусть имеет производных в точке и — многочлен Тейлора для функции в окрестности точки . Тогда

Доказательство. Для формула Тейлора совпадает с (21.4) и была доказана ранее. Пусть .

Нам нужно доказать, что является при , то есть доказать, что предел

равен нулю.

Найдём этот предел явно. Поскольку , он является неопределенностью . Заметим, что числитель и знаменатель дифференцируемы в окрестности точки : поскольку у функции есть производных в точке , это означает, что -я производная определена в некоторой окрестности точки , иначе производную от неё нельзя было определить; но тогда и -я производная существует в окрестности и т.д. до первой производной; является многочленом и дифференцируем сколько угодно раз где угодно, равно как и в знаменателе. Производная знаменателя не обнуляется при . Значит, можем применить правило Лопиталя и рассмотреть новый предел:

Поскольку , это снова неопределенность . Если , вторая производная функции существует в окрестности и мы можем снова применить правило Лопиталя. Получится такой предел:
Так мы можем продолжать до тех пор, пока в числителе не появится производная порядка :
Дальше использовать правило Лопиталя нельзя: нам известно, что -я производная функции существует к точке , но не факт, что она существует в окрестности этой точки. Значит, условия теоремы о правиле Лопиталя могут не выполняться. Однако, это не страшно. Заметим, что
Проверьте, что это так (в частности, факториалы сократятся). Тогда предел (21.7) записывается в виде: Предел первого слагаемоего — это просто определение производной функции функции в точке . (Нужно приглядется к пределу и увидеть. Пригляделись? Ага, это оно.) А поскольку производная от -й производной — это -я производная, предел первого слагаемого равен , а весь предел — нулю.

Теперь применение правила Лопиталя на каждом шаге обосновано и доказано, что исходный предел (21.6) тоже равен нулю. Что и требовалось!

Замечание 3. Когда для функции записывают равенство (21.5), также говорят, что это разложение функции в ряд Тейлора в точке с остаточным членом в форме Пеано до членов порядка . (Хотя строго говоря никакого ряда тут нет.)

21.3Применение формулы Тейлора

21.3.1Вычисление пределов

Пример 6. Найдём предел
Это неопределенность и в принципе её можно было бы раскрыть с помощью правила Лопиталя, но мы сделаем иначе. Разложим функцию в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в окрестности точки до членов порядка (ср. с примером 5 — разница только в константе). Получим:
Подставим это выражение в наш предел. Имеем: Но по определению -маленького, второе слагаемое стремится к нулю. (Какая бы функция не была написана вместо , если её поделить на , частное будет стремиться к нулю.) Значит, предел равен .

21.3.2Достаточное условие экстремума

Теорема 2. Пусть функция определена в окрестности , дважды дифференцируема в и . Тогда если , то в точке строгий локальный минимум, а если , то строгий локальный максимум.

Доказательство. Разложим функцию в ряд Тейлора в точке до членов порядка . Имеем:
Заметим, что , и второе слагаемое в формуле обнуляется. Заменим на , где при . (Наличие такого представления эквивалентно определению -малого.) Получаем такую штуку:
Поскольку при , в достаточно маленькой окрестности знак выражения совпадает со знаком , а при . Таким образом, если , то второе слагаемое положительно, а , а если , то отрицательно, и . Это и есть определения минимума и максимума соответственно.

21.4Заключение

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа — пожалуй, самый важный факт дифференциального исчисления. Это своего рода микроскоп, с помощью которого можно изучать сколь угодно тонкие локальные свойства функций. Однако, теорема 1 не говорит ничего про какую-то конкретную точку . Она говорит, что если приближается к , то тейлоровские многочлены быстро приближаются к значениям функции. Но что если мы будем делать наоборот — зафиксируем и будем увеличивать ? Будет ли значение тейлоровских многочленов в точке всё лучшим и лучшим приближением к ? Оказывается, далеко не всегда. Однако во многих случаях — особенно важных с практической точки зрения — будет. Об этом — в следующей лекции.