20Правило Лопиталя

Производные позволяют не только исследовать функции на возрастание, убывание или выпуклость. Ещё с их помощью можно находить пределы, раскрывая неопределенности.

20.1Раскрытие неопределенности

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности с помощью дифференцирования. Существует много разных версий этого правила — для начала, я сформулирую ту, которую проще доказывать.

Теорема 1. (Правило Лопиталя для неопределенности в конечной точке). Пусть функции и определены на интервале ,
существуют производные и для всех , не обращается в ноль на и существует предел
Тогда существует предел
и он равен .

Иными словами, теорема 1 позволяет раскрывать неопределенность путём дифференцирования числителя и знаменателя дроби. Неформально, можно думать об этой теореме так: она показывает, что если две величины стремятся к нулю, то предел их отношения совпадает с пределом их скоростей. Что звучит довольно логично.

20.1.1Теорема Коши

Для доказательства теоремы 1 нам понадобится вспомогательное утверждение, известное как теоремы Коши.

Теорема 2. (Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Пусть при всех . Тогда существует такая точка , что

Замечание 1. Если подставить , теорема Коши превращается в теорему Лагранжа о конечных приращениях.

Доказательство. Рассмотрим функцию
Это похоже на то, как мы доказывали теорему Лагранжа, только вместо линейной функции вычитаем функцию с подходящим коэффициентом. Заметим, что
Применим к теорему Ролля. Существует такая точка , что . Запишем производную :
Следовательно
Посколькуо (т.к. для всех ), можно на него поделить и получить искомое равенство.

Вопрос 1. А почему при определении функции можно делить на , почему эта штука не обращается в ноль?

20.1.2Доказательство правила Лопиталя

Доказательство теоремы 1. До- или переопределяя функции и в точке , можно считать, что . На пределы и производные это никак не повлияет, поскольку они не зависят от того, чему равны функции в точке . Тогда
Применим теорему Коши к отрезку . Существует такая точка , что дробь под знаком предела равна . (Теорема Коши для фиксированного отрезка даёт фиксированную точку , а в нашем случае для каждого свой отрезок, поэтому точка зависит от .)

Можно продолжить равенство:

Заметим, что при и , поскольку (по теореме о двух милиционерах). Значит, можно использовать теорему о пределе сложной функции (см. упражнение 2 в лекции 13). Имеем:

20.2Другие версии и примеры

Конечно, можно доказать утверждение, аналогичное 1 с пределом слева, а также с двусторонним пределом (в этом случае требуется, что и были дифференцируемы в проколотой окрестности точки ). Доказательства полностью аналогичны.

20.2.1Предел в бесконечности

Случай или легко сводится к 1.

Теорема 3. Пусть функции и определены на луче ,
существуют производные и для всех , не обращается в ноль на и существует предел
Тогда существует предел
и он равен .

Доказательство. Пусть . Тогда при , . По теореме о пределе сложной функции (похожая была в домашнем задании),
Рассмотрим функции
Равенство (20.1) можно продолжить:
Применим теорему 1 к получившемуся пределу и интервалу (можно считать, что ). Для вычисления производных и применим теорему о производной сложной функции.
Теперь можно снова применить теорему о пределе обратной функции, делая обратную замену , и получить:

Аналогично можно разобрать случай и .

20.2.2Примеры раскрытия неопределенности

Пример 1. Найдём предел
Перед нами неопределенность , производная знаменателя не обнуляется вблизи нуля, продифференцируем числитель и знаменатель. Имеем:
Теперь неопределенности нет, этот предел существует и равен 1 (в силу непрерывности косинуса и теоремы о пределе частного). Значит, исходный предел также существует и равен 1.

Пример 2. Найдём предел
Снова неопределенность . Производная знаменателя не обнуляется вблизи нуля. Продифференцируем числитель и знаменатель.
Снова получили неопределенность . Можно попробовать к новому пределу также применить правило Лопиталя.
Теперь неопределенности нет, и в силу непрерывности косинуса и синуса и арифметики пределов, предел равен . Значит, правило Лопиталя применимо для вычисления предела (20.3), он существует и равен . Значмт, правило Лопиталя применимо для вычисления предела (20.2), он существует и равен .

Пример 3. Найдём предел
В принципе, можно было бы формально применить правило Лопиталя и получить верный ответ, но тут возникает логическая ошибка. Дело в том, что это первый замечательный предел. При доказательстве дифференцируемости синуса и вычислении его производной мы воспользовались тем, что этот предел существует и равен 1. (Это мы доказывали на семинарах из геометрических соображений.) Чтобы воспользоваться правилом Лопиталя сейчас, нам нужно продифференцировать синус, но сделать мы это можем только если уже как-то доказали, что данный предел равен 1.

20.2.3Раскрытие неопределенности

Вместо условия, что и одновременно стремятся к нулю, можно использовать условие, что они одновременно стремятся к бесконечности. Доказательства этого утверждения довольно громоздкое, и мы его приводить не будем, а вот пример разберём.

Пример 4. Найдём предел
Это неопределенность вида , производная знаменателя не обращается в ноль. Попробуем продифференцировать числитель и знаменатель. Имеем:
Предел существует и равен нулю, значит, правило Лопиталя применимо, исходный предел также существует и равен нулю.

20.3Заключение

Правило Лопиталя часто (хотя и не всегда) позволяет раскрывать неопределенности вида или без особых раздумий — если первого дифференцирования снова получили неопределенность, не беда — можно продифференцировать ещё раз, и так пока не получим какой-нибудь конкретный предел. (Главное не забывать проверить, что условия соответствующих теорем применимы.) Студенты его очень любят. А я нет. Потому что на практике вместо правило Лопиталя быстрее использовать другую штуку — разложение функций в ряд Тейлора. Об этом мы поговорим в следующий раз.