28Ряды

Ряды — это просто бесконечные суммы. Мы с ними уже несколько раз сталкивались — например, когда обсуждали, что некоторые функции оказываются равны своим рядам Тейлора (см. замечание 2 из лекции 22). Пришло время поговорить про ряды подробнее.

28.1Сходящиеся и расходящие ряды

28.1.1Определения и примеры

Пусть есть какая-то последовательность .

Определение 1. Бесконечным рядом (или просто рядом) называется такая бесконечная сумма:
Если вместо бесконечности взять первые слагаемых, получится частичная сумма ряда:
По определению, суммой ряда называется предел частичных сумм:

Конечно, этот предел может существовать, а может не существовать. В первом случае ряд называется сходящимся, во втором — расходящимся.

Пример 1. Ряд
сходится. Это геометрическая прогрессия со знаменателем, по модулю меньшим 1, но сходимость здесь можно увидеть и непосредственно. Если у вас была одна шоколадка, вы съели от неё половину, потом половину от оставшейся половины (то есть четверть), потом половины от того, что осталось (то есть одну возьмую) и т.д. — в пределе ничего не останется, но и больше, чем целую шоколадку, вы не съедите. Значит, сумма съеденных кусочков стремится к единице.
Рис. 28.1: Сумма бесконечной геометрической прогрессии «на шоколадках»

Пример 2. Ряд
расходится: поскольку все слагаемые больше или равны 1, частичные суммы неограничены: , и значит расходятся. Можно сказать, что сумма равна плюс бесконечности:

28.1.2Геометрическая прогрессия

Важным примером рядов являются суммы геометрических прогрессий, то есть последовательностей вида , где называется знаменателем прогрессии.

Поскольку я никогда не могу запомнить формулу для суммы членов геометрической прогрессии и каждый раз вывожу её заново, приведу этот вывод и здесь.

Утверждение 1. Для всяких , и справедливо утверждение

Доказательство. Вынесем за знак суммирования, а потом сделаем замену индекса суммирования :
Остаётся найти, чему равна сумма . Обозначим её через . Тогда
Вычитая из первого равенства второе, получаем:
откуда

Следствие 1. При ,
поскольку в этом случае стремится к нулю при стремящемся к бесконечности. При при ряд расходится, поскольку стремится к бесконечности. При последовательность является постоянной и ряд расходится при .

В примере 1, и , значит сумма равна

как и ожидалось.

28.1.3«Телескопические суммы»

Вообще есть мало сколь-нибудь универсальных способов нахождения бесконечных сумм в явном виде. Но чтобы вам не казалось, что нет никаких поддающихся анализу рядов, кроме геометрической прогрессии, обсудим ещё один тип.

Пример 3. Найдём сумму ряда
Для этого заметим, что
Дальше хочется сделать такую штуку: Это преобразование выглядит реалистично — в самом деле, нас учили, что при суммировании неважно, как расставлять скобки — однако таит в себе опасность. Рассмотрим, например, такой ряд:
Его частичными суммами будут числа (при нечётных ) и — при чётных. Мы знаем, что предела у такой последовательности нет. Однако, казалось бы, можно записать:
Впрочем, с тем же успехом мы могли бы получить и 0, если бы сгруппировали слагаемые иначе (первое со вторым, третье с четвертым и т.д.)

Пример с рядом показывает, что бесконечные суммы могут быть коварными — привычные нам операции типа группировки слагаемых могут менять результат. Как же всё-таки найти сумму ряда (28.1)?

Если мы не уверены, что некоторое преобразование сработает с бесконечным рядом, мы можем вернуться в ту область, где всё просто и понятно — в область конечных сумм. Давайте рассмотрим частичные суммы этого ряда:

Тут уже скобки не важны, потому что группировка слагаемых в конечных суммах не меняет их значения. Мы видим, что слагаемые и сокращаются, и дальше сократятся все пары слагаемых, заканчивая и . Останется только первое и последнее слагаемое. (Если вы чувствуете малейшие сомнения в этом месте, подставьте какое-нибудь небольшое конкретное — например, , и проследите, как это работает.) Итак:
и значит предел частичных сумм равен . То есть наше вычисление дало правильный результат, и теперь мы это аккуратно обосновали. (Проверьте, что будет, если попытаться применить то же самое рассуждение к ряду (28.2).)

Суммы такого вида, у которых слагаемые последовательно сокращаются, иногда называют «телескопическими» — в процессе сокращения сумма как бы складывается, как складная подзорная труба или телескоп.

28.1.4Простейшие свойства

Как показвает пример с рядом (28.2), не все привычные нам операции с конечными суммами можно применять к рядам. Однако, некоторые всё-таки можно.

Утверждение 2. Пусть ряды и сходятся и — какая-то константа. Тогда
  1. .
  2. .

Доказательство. Это прямое следствие из аналогичных свойств пределов. Докажем, например, первое свойство. Рассмотрим -ю частичную сумму:
Это конечная сумма, в ней можно раскрывать скобки и переставлять слагаемые, как нас учат в школе. Поэтому можно продолжить равнество:
Значит В третьем равенства мы использовали теорему о пределе суммы.

Второе свойство доказывается аналогично, запишите доказательство самостоятельно.

28.2Признаки сходимости и расходимости

28.2.1Необходимое условие сходимости: члены стремятся к нулю

Утверждение 3. Если ряд сходится, то

Доказательство. Обозначим через частичную сумму нашего ряда:
Тогда для всех
Рассмотрим предел последовательности :
но пределы и — это фактически один и тот же предел (во втором случае последовательность просто сдвинута на один элемент вправо, но предел от этого не изменился). И оба предела существуют, потому что по определению, предел частичных сумм — это сумма ряда, а ряд сходится. Обозначим сумму ряда за . Тогда

Замечание 1. Теперь мы могли бы мгновенно сказать, что ряд (28.2) расходится: его члены не стремятся к нулю.

28.2.2Гармонический ряд

Условие является необходимым для сходимости ряда, но является ли оно достаточным? Оказывается, нет. Приведём в качестве примере известный гармонический ряд.

Утверждение 4. Ряд
расходится.

Доказательство. Заметим, что Каждая из сумм в левой части не меньше, чем своё последнее слагаемое (самое маленькое) умножить на число слагаемых. Понятно, что так можно продолжать и дальше. Для произвольного натурального возьмём слагаемые с номерами от до . Их количество равно разности между этими двумя числами, плюс один. (Потому что и первое и последнее число включатся в подсчёт: например, если бы эти числа совпадали, разность равнялась нулю, но при этом одно слагаемое мы бы взяли.) Значит, общее число слагаемых равно
и каждое слагаемое не меньше последнего, то есть . Итак:
Возьмём первые слагаемых ряда (28.3). В них есть первое слагаемое, равное , и ещё «блоков» вида (28.4), каждый из которых не меньше . Значит, их сумма не меньше, чем и стремится к бесконечности. Значит, ряд расходится.

Замечание 2. Суммирование гармонического ряда похоже на интегрирование функции . И это не фигура речи. Мы знаем, что
и можно доказать, что существует такая константа (постоянная Эйлера — Маскерони), что
то есть у частичных сумм гармонического ряда есть «логарифмическая асимптота» (асимптота вида ).
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

def harmonic(n):
    # reverse order for better precision
    return sum(1 / k for k in range(n, 0, -1))
gamma = 0.57721566490153286060
# From Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Mascheroni_constant

N = range(1, 10)
plt.plot(N, [harmonic(n) for n in N], 'o', 
         label=r'частичные суммы гармонического ряда')

x = np.linspace(0.1, max(N) + 1, 301)
plt.plot(x, np.log(x) + gamma, label=r'$y=\ln x + \gamma$')
plt.yticks([1, 2, 3])
plt.xticks(N)
plt.legend()

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.5, xmax=max(N) + 1, ymin=-0.2, ymax=4.2, 
               xlabel="x", ylabel="y")
Рис. 28.2: Логарифмическая асимптота для частичных сумм гармонического ряда

28.2.3Признак сравнения

Ну хорошо, у нас есть необходимое условие сходимости — может быть, есть и какие-то достаточные? Да, есть.

Теорема 1. Рассмотрим два ряда:
Если известно, что для всех натуральных верны неравенства
и ряд
сходится, то ряд
тоже сходится.

Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательству похожей теоремы для несобственных интегралов. Попробуйте написать его самостоятельно.
  Узнать ответ

Верный ответ. Обозначим сумму ряда (28.6) через , частичные суммы ряда (28.6) через , а частичные суммы ряда (28.7) через . Поскольку все слагаемые неотрицательны, обе последовательности и неубывают. Также в силу (28.5), для всех , . С другой стороны, в силу неубывания, все элементы не превосходят предела (если бы какой-то элемент перескочил через предел, все следующие элементы были бы отделены от предела и не могли бы к нему стремиться). Значит, для всех , и значит последовательность является неубывающей и ограниченной. Значит, по теоремe Вейерштрасса, у неё есть предел.

Пример 4. Докажем, что ряд
сходится. Действительно, для всех , и следовательно . Никакое конечное число начальных членов на сходимость ряда не влияет и значит в признаке сравнения достаточно выполнения неравенства для всех , начиная с некоторого. А ряд
сходится. Значит, и наш ряд сходится.

Пример 5. Докажем, что ряд
расходится. Действительно, для всех , и следовательно
Но если бы ряд (28.8) сходился, тогда и ограниченный им ряд тоже сходился бы. Но мы знаем, что последнее неверно. Значит, наш ряд расходится.

28.2.4Интегральный признак сходимости

Как мы уже отмечали, между несобственными интегралами и рядами много общего. При этом анализировать интегралы часто проще, чем ряды — есть разнообразные способы преобразования интегралов, которые к рядам применяются плохо. К счастью, есть теорема, которая позволяет переносить результаты о сходимости интегралов на ряды и наоборот.

Теорема 2. Пусть функция невозрастает, неотрицательна и интегрируема на любом отрезке , . В этих условиях ряд
сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

Доказательство.

Если интеграл сходится, то и ряд тоже сходится. Построим график функции . Мы хотим представить сумму ряда (28.9) в виде некоторой площади, чтобы сравнить её с площадью, которая соответствует интегралу (28.10). Для этого над каждым отрезком построим прямоугольник высотой , .

Рис. 28.3: Интеграл оценивает сумму ряда, начиная со второго слагаемого

Площадь -го прямоугольника равна , сумма всех площадей равна сумме ряда. Все прямогольники, кроме первого, находятся не выше графика функции: в силу неубывания на каждом отрезке значение функции не меньше . Разобьём наш ряд в сумму первого члена и всех остальных:

Слагаемое не меняет сходимости ряда, и значит достаточно изучить сходимость . Любая частичная сумма этого ряда не превосходит значение интеграла (28.10) и последовательность частичных сумм неубывает в силу неотрицательности . Значит, последовательность частичных сумм имеет предел и ряд сходится.

Формально можно записать так. Заметим, что